Lineare DGL :x* y‘ + y = 6x^2

Question

Aufgabe: x* y‘ + y = 6x^2

Problem/Ansatz

Hallo Leute, kann mir jemand bitte bei der Aufgabe helfen? Danke

Comments

Eine etwas kürzere Alternative:$$x\cdot y^\prime+y=6x^2\\\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\,xy=6x^2\\xy=2x^3+C\\y=2x^2+\tfrac Cx.$$

Answer 1

Mir fallen spontan 2 Möglichkeiten ein:

1.) Variation der Konstanten

\( x \cdot y^{\prime}+y=6 x^{2} |: x \quad(x \neq 0) \)

\( y^{\prime}+\frac{y}{x}=6 x \)
\( y^{\prime}+\frac{y}{x}=0 \quad \) homogene Gleichung
\( \frac{d y}{d x}=\frac{-y}{x}- \)
\( \frac{d y}{y}=-\frac{d x}{x} \)

\( \begin{aligned} \ln |y| &=-\ln |x|+c \\|y| &=e^{(-\ln |x|+c)}=\frac{1}{x} \cdot e^{c} \\ y &=\frac{1}{x} \cdot \pm e^{c} \\ y_{h} &=\frac{c_{1}}{x} \end{aligned} \)

\( C_{1}=C(x) \)
\( y_{p}=\frac{C(x)}{x} \)
$$ y_{p}^{\prime}=\frac{C'(x)}{x}-\frac{C(x)}{x^{2}} $$
y_p und y_p' in die  DGL einsetzen

WICHTIG: Der Term mt C(x) muß sich herauskürzen.
\( \begin{aligned} \frac{C'(x)}{x}-\frac{C(x)}{x^{2}} &+\frac{C( x)}{x} \cdot \frac{1}{x}=6 x \\ \frac{C^{\prime}(x)}{x} &=6 x \\ C^{\prime}(x) &=6x^2 \end{aligned} \)
$$ C(x)=2 x^{3} $$
\( y \rho=\frac{C(x)}{x}=\frac{2 x^{3}}{x}=2 x^{2} \)
$$ \begin{array}{l} {y=y_{h}+y_{p}} \\ {y=\frac{c_{1}}{x}+2 x^{2}} \end{array} $$

2.) Lösung als exakte DGL (wenn behandelt)