Zeigen Sie: Sind A1,A2 abgeschlossen und ist f|Ai : Ai → Y stetig, so ist auch f stetig.

Question

Aufgabe:

Es sei (X,d) ein metrischer Raum mit X = A₁ ∪ A₂ und f : X → Y eine Abbildung, wobei Y ein weiterer metrischer Raum ist.

Zeigen Sie: Sind A₁,A₂ abgeschlossen und ist f|A_i : A_i → Y stetig, so ist auch f stetig.

Problem/Ansatz:

Einen wirklichen Ansatz finde ich bei dieser Aufgabe nicht. Handelt es sich bei f dann um irgend eine Art von Komposition zweier Funktionen? Es wäre ja so gesehen nur eine Erweiterung des Definitionsbereichs.

Answer 1

Ich übersetze es mal in ein einfaches Beispiel:

gegeben: f₁(x)=0 mit D_f1=A₁ = ]0,1]      Damit ist f₁ stetig.     f I_A1 heißt: f eingeschränkt auf den kleinen Definitionsbereich A1 statt auf  A₁∪A₂

               f₂(x)=1 mit D_f2=]1,2[ , f1(x)=0        Damit ist f₂ stetig.

Male mal diese Funktionen in eine Zeichnung und mach bei x=1 ein Loch an den oberen Graphen.

Sei f(x) eine Abb von ]0,1]∪]1,2[ →ℝ mit

            f1(x) für x∈A₁

f(x) = {

            f₂(x) für x∈A₂

Dann siehst du, dass f nicht stetig ist.

Jetzt neu:

gegeben: f₁(x)=1 mit D_f1=A₁ = [0,1] abgeschlossen. Damit ist f₁ stetig.

                f₂(x)=1 mit D_f2=[1,2]  abgeschlossen. Damit ist f₂ stetig.

Male mal diese Funktionen in eine Zeichnung und mach bei x=1 ein ausgefülltes Loch an beide Graphen.

Sei f(x) eine Abb von A₁∪A₂ abgeschlossen →ℝ mit

            f₁(x) für x∈A₁

f(x) = {

            f₂(x) für x∈A₂

einfacher gesagt: f(x) =1 für A₁∪A₂

Dann wird behauptet:

Wenn f wie gerade definiert und A1∪A2 abgeschlossen →ℝ

Dann muss es einen Funktionswert am gemeinsamen Rand der Intervalle geben, nämlich bei x=1. f(1) muss eindeutig sein, da f eine Funktion ist. Damit ist f stetig in ganz A1∪A2 und nicht nur im Innern von A1∪A2.

Jetzt musst den roten Satz nochmal vorlesen und dabei statt Intervalle A1,A2,ℝ metrische Räume sagen. Dann hast hast du genau die Aussage der Aufgabe.

Comments

Super Erklärung, danke für deine Hilfe :)

Im nachhinein kommt man sich blöd vor, mit dem Beispiel war es doch sehr einfach das zu verstehen ^^

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Entschuldige, aber ich musste A1 im ersten Beispiel ganz oben bei x=1 schließen, sonst wäre es nicht richtig.