Geometrischer Beweis für trigonometrische Gleichung sin(π/4 - t) = cos(π/4 + t)

Question

Über welchen geometrischen Beweis kann ich die Gleichung darstellen?

Abgebildet ist 1/4 des Einheitskreises. D.h. sowohl die x-Achse als auch die y-Achse werden bei 1 geschnitten. Auf dem Kreisbogen eine symmetrische Situation zur 1. Hauptdiagonalen. 

Aufgabe 4:

(Die Graphen von sin und cos). Übertragen Sie die folgende Zeichnung am Einheitskreis auf Ihr Arbeitsblatt und erläutern Sie anhand einer kurzen geometrischen Überlegung: Für \( 0 \leq t \leq \frac{\pi}{4} \) gilt:

$$ \sin \left(\frac{\pi}{4}+t\right)=\cos \left(\frac{\pi}{4}-t\right) \quad \text { und } \quad \cos \left(\frac{\pi}{4}+t\right)=\sin \left(\frac{\pi}{4}-t\right) $$
\( \int \limits_{0}^{1}\left(\cos ^{2}\left(\frac{x}{1}-t\right) \cdot \tan \left(\frac{x}{4}-t\right)\right) \)

Comments

Die Skizzen, die du erst hochgeladen hast, sind auch wieder weg!

Answer 1

Zeichne dir in das Koordinatensystem noch die erste Winkelhalbierende ein.

Wenn der Punkt P(x | y) an der ersten Winkelhalbierenden gespiegelt wird erhält man den Punkt Q(y | x).

Damit ist z.B. die x-Koordinate des roten Punktes gleich der y-Koordinate des blauen Punktes.

COS(pi/4 + t) = SIN(pi/4 - t)

Comments

Aber warum sollte dann

sin(pi/4+t)=cos(pi/4−t) und cos(pi/4+t)=sin(pi/4−t) gelten? Also die eine x Koordinate ist das selbe wie die y Koordinate vom anderen Punkt?

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an der ersten Winkelhalbierenden gespiegelt wird

@Tanne07: Hier entstehen Dreiecke, die symmetrisch zur Winkelhalbierenden des ersten Quadranten sind. Zeichne sie ein und färbe die gleichlangen Katheten.

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Also die eine x Koordinate ist das selbe wie die y Koordinate vom anderen Punkt?

Du verstehst nicht wirklich was eine Achsenspiegelung an der ersten Hauptdiagonalen ist oder?

Das brauchtest du schon bei der Bildung der Umkehrfunktion in der Analysis, wenn ihr das irgendwann mal gemacht habt.

Dort wird einfach nur die x mit der y-Koordinate vertauscht.

Zeichne dir nochmal ein Koordinatensystem und zeichne dort beliebige Punkte ein, die du an der ersten Hauptdiagonalen spiegelst. Du solltest erkennen, dass dann nur die jeweiligen x- und y-Koordinaten vertauscht werden.

Ein Kreis (und damit ist auch der Einheitskreis gemeint) ist ebenso Achsensymmetrisch zu einer geraden, die durch den Kreismittelpunkt geht.  Also hier zur ersten Hauptdiagonalen.

Answer 2

Voraussetzung ist hier, dass du bei deiner neuen Frage https://www.mathelounge.de/675991/geometrische-uberlegungen-am-einheitskreis die Strecken sin(h) und cos(h) in a) anschreiben kannst. D.h. die Definition von sinus und Cosinus am Einheitskreis kennst. Falls du dieses Video https://www.mathelounge.de/219673/sinus-und-kosinus-am-einheitskreis-sin-a-sin-180-a-zeigen?show=219806#c219806 kostenlos anschauen kannst, tu das ruhig mal. Sonst einfach nach Einheitskreis und Sinus googeln und ein anderes Dokument mit Bildern wählen.

Dann erst

Tanne07: sin(pi/4+t)=cos(pi/4−t) und cos(pi/4+t)=sin(pi/4−t) gelten? Also die eine x Koordinate ist das selbe wie die y Koordinate vom anderen Punkt?

Mathecoach: an der ersten Winkelhalbierenden gespiegelt wird

@Tanne07: Hier entstehen Dreiecke, die symmetrisch zur Winkelhalbierenden des ersten Quadranten sind. Zeichne sie ein und färbe die gleichlangen Katheten.