Überprüfen, ob es eine Lineare Abbildung ist

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Abbildung f: ℝ² → ℝ⁴ , \( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \) → \( \begin{pmatrix} x\\x-y\\x+y\\y \end{pmatrix} \) linear ist.

Problem/Ansatz:

Diese Aufgabe ist mir zu kompliziert.. Ich weiß, dass man Additivität und Homogenität anwenden muss, aber weil es R² nach R⁴ ist, ist es mir zu kompliziert.. Bitte um Hilfe :(

Rejes.

Answer 1

Aloha :)

Additivität:$$f\left[\left(\begin{array}{c}x_1\\y_1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}x_2\\y_2\end{array}\right)\right]=f\left[\left(\begin{array}{c}x_1+x_2\\y_1+y_2\end{array}\right)\right]=\left(\begin{array}{c}x_1+x_2\\x_1+x_2-y_1-y_2\\x_1+x_2+y_1+y_2\\y_1+y_2\end{array}\right)$$$$=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_1-y_1\\x_1+y_1\\y_1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}x_2\\x_2-y_2\\x_2+y_2\\y_2\end{array}\right)=f\left[\left(\begin{array}{c}x_1\\y_1\end{array}\right)\right]+f\left[\left(\begin{array}{c}x_2\\y_2\end{array}\right)\right]$$

Homogenität:$$f\left[a\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)\right]=f\left[\left(\begin{array}{c}ax\\ay\end{array}\right)\right]=\left(\begin{array}{c}ax\\ax-ay\\ax+ay\\ay\end{array}\right)=a\left(\begin{array}{c}x\\x-y\\x+y\\y\end{array}\right)=af\left[\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)\right]$$