Beweis lineare Abbildung

Question

Aufgabe:

Beweise dass,

\( f: \mathbb{Z}_{p} \rightarrow \mathbb{Z}_{p} \)
\( f(x)=x^{p} \quad \bmod p \)

eine lineare Abbildung ist.

Answer 1

Wende den "kleinen Satz von Fermat" an, der besagt:

x^p Ξ x  (mod p ) für alle Primzahlen p.

Ich nehme an, dass dein p eine Primzahl sein soll ???

Dann musst du doch nur zeigen

f(x*y) = f(x) * f(y)    und    f ( k*x) = k*f(x) also so

f(x*y) = (x*y)^p = x * y = =  x^p * y^p  = f(x) * f(y)  und

   f ( k*x)  = (k*x) ^p = k*x  = k* x^p = k*f(x) .