C lineare Abbildung, einfacher Beweis

Question

der folgende Beweis soll trivial sein, aber so ganz durchblicke ich es nicht.

Sei A eine R-lineare Abbildung von C-->C.

zz: Aus A(i) = i*A(1) --> A ist C linear.

(die andere Richtung ist ja wirklich trivial).

Gruß

Irgendeinphysikstudent

Answer 1

ist vielleicht etwas umständlich bei mir  geraten ;) :

$$ A(Cz)=A((x+iy)z)=A(xz+yiz)=xA(z)+yA(iz)\\=xA(z)+yA(i(a+ib))=xA(z)+yA(ia-b)=xA(z)+y(aA(i)-A(b))\\=xA(z)+iy(A(a)+iA(b))=xA(z)+iy(A(a)+A(ib))=(x+iy)A(z)=CA(z)\\ \text{Damit } A(\alpha { z }_{ 1 }+\beta{ z }_{ 2 })=\alpha A({ z }_{ 1 })+\beta A({ z }_{ 2 })$$