Zeigen Sie, dass 1, sin t, cos t, sin 2 t, cos 2 t eine Familie linear unabhängiger Vektoren im reellen Vektorraum ist

Question

Aufgabe:

a) Zeigen Sie, dass \( 1, \sin t, \cos t, \sin 2 t, \cos 2 t \) eine Familie linear unabhängiger Vektoren im reellen Vektorraum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen \( x: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) ist. \( \quad \) (Hinweis: Betrachten Sie eine beliebige Linearkombination und setzen für \( t \) fünf geeignete Werte (z.B. 0, \( \left.\pi, \frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{2} \text { und } \frac{\pi}{4}\right) \) ein, um ein lineares Gleichungssystem zu erhalten.) Wir benutzen sie als Basis \( B \) für \( U:=L(1, \sin t, \cos t, \sin 2 t, \cos 2 t) \) und definieren eine Abbil\( \operatorname{dung} D: U \rightarrow U \) durch $$ D(x)=x^{\prime \prime \prime}+4 x^{\prime \prime}+x^{\prime}-6 x $$

(b) Bestimmen Sie \( D(x) \) für alle \( x \in B \) und nutzen Sie dies um die Matrixdarstellung von \( D \) bzgl. \( B, B, \) d. h. \( _{B} [D] _{B}, \) anzugeben.

(c) Berechnen Sie damit den Lösungsraum der linearen (Differential-) Gleichung \( D(x)=x_{0} \) für $$ x_{0}=\sin t-\cos t $$

Erläuterung: Es gilt \( (\sin t)^{\prime}=\cos t,(\cos t)^{\prime}=-\sin t,(\sin 2 t)^{\prime}=2 \cos 2 t,(\cos 2 t)^{\prime}=-2 \sin 2 t \)

Answer 1

Hallo

 schreibe die Bedingung für lin. Unabhängigkeit hin also

a_1*1+a_2*sin(t)+a_3*cos(t)+....=0 nur wenn alle a_i=0

 das muss für ALLE t gelten, also auch für ein paar spezielle Werte.

b)  ist dann ja nur rechnen,  und daraus c)

Gruß lul

Answer 2

Aufgabe c)

charakt. Gleichung:

k^3+4 k^2+k=0

k₁=0

k_2,3= -2± √3

Ansatz part. Lösung:

xp= A t +B cos(t) +C sin(t)