Multiplikative Gruppe. Eindeutigkeit von multiplikativem Inversem und neutralem Element.

Question

Sei G eine (multiplikativ geschriebene) Gruppe. Zeigen Sie:

a) Es existiert genau ein Element e ∈ G mit eg = ge = g für alle g ∈ G.

b) Für jedes g ∈ G existiert genau ein Element h ∈ G mit gh = hg = e.

Answer 1

a)

Angenommen es existiere e', s.d. ae'=a=e'a für alle a∈G, also insbesondere:

e'e=e=ee', aber auch ee'=e'=e'e

damit gilt e=e', also ist jedes Element mit der geforderten Eigenschaft schon das neutrale Element der Gruppe

b)

Angenommen es existiere h', ein weiteres inverses Element, dann gilt:

h'=h'e=h'ah=eh=h, also h'=h