Wenn lim_( x→x0^−) f(x)= lim_( x→x0^+) f(x)=c∈R dann ist f in x0 stetig. Falsch? Warum?

Question

Problem/Ansatz:

Erfüllt

f:(a,b)→R für ein x0 ∈(a,b) die Bedingung

 $$lim_{ x→x0^−} f(x)= lim_{ x→x0^+} f(x)=c∈ℝ $$ 
dann ist f in x0 stetig.

Stimmt diese Aussage oder nicht? warum?

:)

Comments

Kannst Du das auch mal verständlich formulieren. Was soll \( \lim_{x\to x_0^{-}} \ \lim_{x\to x_0^{+}} \) bedeuten.

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Vermutlich "linksseitiger" und "rechtsseitiger Grenzwert".

Answer 1

Die Aussage stimmt im Allgemeinen nicht.

Ist $$ f(x_0) \neq c $$, dann ist die Funktion in x₀ nicht stetig.

Eine Funktion ist stetig, wenn Du sie "in einem Strich zeichnen" kannst. Das ist in dem Fall, den ich beschrieben habe, nicht der Fall.

Answer 2

Aloha :)

Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert müssen gleich sein UND mit dem Funktionswert übereinstimmen!

Betrachte folgendes Beispiel:

$$f(x)\begin{cases} \frac{x^2-1}{x-1} \quad ;\quad x\ne1 \\ 3 \quad\;\;\quad;\quad x=1 \end{cases} $$

Links- und rechtsseitiger Grenzwert sind gleich:$$\lim\limits_{x\nearrow1}\left(\frac{x^2-1}{x-1}\right) = \lim\limits_{x\nearrow1}\left(x+1\right)=2$$

$$\lim\limits_{x\searrow1}\left(\frac{x^2-1}{x-1}\right) = \lim\limits_{x\searrow1}\left(x+1\right)=2$$

aber der Funktionswert \(f(1)=3\ne2\). Die Funktion ist daher nicht stetig bei \(x=1\).