Gleichheit von Mengen zeigen in einem Ring

Question

Aufgabe:

Es sei R=Z oder R=K[X] für einen Körper K. Ferner seien a,b∈R gegeben und es sei g:=ggT(a,b). Schließlich seien p,q∈R mit a=pg und b=qg.

Für c∈R sei S_c:={(x,y)∈R×R ∣ xa+yb=c}.

Zeigen Sie:

(a) Für c∈R und (x,y)∈S_c gilt S_c = {(x+x₀, y+y₀) | (x₀, y₀)∈S₀}.

(b) Es gilt S₀ = RxR, falls (a,b) = (0,0),

           und S₀ = {mq, -mp) | m∈R}, falls (a,b) ≠ (0,0).

Ansatz:

(a)

Es gilt: S_c := {(x,y)∈RxR | xa+yb=c} und S₀ := {(x₀,y₀)∈RxR | x₀a+y₀b = 0}.

Für jedes Element in S₀ muss x₀a+y₀b = 0 ⇔ x₀a = -y₀b gelten.

...

Ab hier komme ich nicht weiter.

(b)

S₀ := {(x₀,y₀)∈RxR | x₀a+y₀b = 0}

Es gibt 2 Fälle:

Fall 1: (a,b) = (0,0)

x₀a+y₀b = 0 ⇔ 0x₀+0y₀ = 0 ⇔ 0(x₀+y₀) = 0
Für x und y kann jedes beliebige Element aus R eingefügt werden, da die Summe aus beiden immer mit 0  multipliziert wird.
Damit gilt S₀ = RxR.

Fall 2: (a,b) ≠ (0,0)
x₀a + y₀b = 0 ⇔ x₀a = -y₀b ⇔ x₀pg = - y₀qg (weil a=pg und b=qg)
⇔ x₀p = -y₀q 
...

Hier hab ich auch keine Ahnung mehr, was ich machen soll...

Ein Tipp, was ich im nächsten Schritt machen muss, wäre schon hilfreich! :)

MfG,
Doug

Comments

Zur (c):

Der Tutor hat vorgeschlagen, dass man sich eine art LGS vorstellen kann (aber auch, dass man im Beweis kein LGS verwenden dürfte).

Ich habe mir das bisher so veranschaulicht:

$$S_c:={(x,y)\in RxR \text{ | } xa+yb=c}\\ S_0:={(x_0,y_0)\in RxR \text{ | } x_0a+y_0b=0}$$

Also für jedes Element (x,y)∈S_c gilt: xa+yb = c

und für jedes Element (x₀,y₀)∈S₀ gilt: x₀a+y₀b = 0.

Jetzt habe ich xa+yb = c mit x₀a+y₀b = 0 "addiert":

$$ xa+x_0a+yb+y_0b = 0+c \Longleftrightarrow (x+x_0)a+(y+y_0)b=c$$

(x, x₀ ,y, y₀ ∈ R ⇒ (x+x₀), (y+y₀) ∈ R)

Somit ist das alles wieder in der Form xa+yb=c, weshalb Sc = {(x+x₀, y+y₀) | (x₀, y₀)∈S₀} gilt.

Ist das richtig und ausreichend für einen Beweis? :o