Aloha :)
Du hast eine rekursiv definierte Folge gegeben:$$a_n=\frac{1}{7}\left(5a_{n-1}+2a_{n-2}\right)\quad;\quad n\ge3$$Mit dem speziellen Ansatz \(\tilde a_n=\lambda^n\) können wir das Problem auf eine quadartische Gleichung zurückführen:
$$\left.\lambda^n=\frac{1}{7}\left(5\lambda^{n-1}+2\lambda^{n-2}\right)\quad\right|\;\text{alles auf die linke Seite}$$$$\left.\lambda^n-\frac{5}{7}\lambda^{n-1}-\frac{2}{7}\lambda^{n-2}=0\quad\right|\;\cdot\frac{1}{\lambda ^{n-2}}$$$$\left.\lambda^2-\frac{5}{7}\lambda-\frac{2}{7}=0\quad\right|\;\text{pq-Formel}$$$$\left.\lambda_{1;2}=\frac{5}{14}\pm\sqrt{\frac{25}{196}+\frac{2}{7}}=\frac{5}{14}\pm\sqrt{\frac{25}{196}+\frac{56}{196}}=\frac{5}{14}\pm\frac{9}{14}\quad\right.\;$$Für den speziellen Ansatz \(\tilde a_n=\lambda^n\) haben wir also 2 Lösungen gefunden, die wir nun linear zur allgemeinen Lösung kombinieren können:
$$a_n=c_1\cdot\left(\frac{5}{14}+\frac{9}{14}\right)^n+c_2\cdot\left(\frac{5}{14}-\frac{9}{14}\right)^n=c_1+c_2\left(-\frac{2}{7}\right)^n$$Da die rekursive Definitionsgleichung für \(a_n\) erst ab \(n\ge3\) gilt, können wir \(a_1\) und \(a_2\) zur Bestimmung der beiden Konstanten \(c_1\) und \(c_2\) nutzen:
$$a_1=c_1+c_2\left(-\frac{2}{7}\right)^1=c_1-\frac{2}{7}c_2$$$$a_2=c_1+c_2\left(-\frac{2}{7}\right)^2=c_1+\frac{4}{49}c_2$$$$\Rightarrow\;\;a_2-a_1=\frac{4}{49}c_2+\frac{2}{7}c_2=\left(\frac{4}{49}+\frac{14}{49}\right)c_2=\frac{18}{49}c_2\;\;\Rightarrow\;\;c_2=\frac{49}{18}(a_2-a_1)$$$$\Rightarrow\;\;c_1=a_2-\frac{4}{49}c_2=a_2-\frac{2}{9}(a_2-a_1)=\frac{7}{9}a_2+\frac{2}{9}a_1=\frac{7a_2+2a_1}{9}$$Damit haben wir:$$a_n=\frac{7a_2+2a_1}{9}+\frac{49}{18}(a_2-a_1)\cdot\left(-\frac{2}{7}\right)^n$$Jetzt kannst du die Behauptung einfach ausrechnen:
$$a_n-a_{n-1}=\frac{49}{18}(a_2-a_1)\cdot\left(-\frac{2}{7}\right)^n-\frac{49}{18}(a_2-a_1)\cdot\left(-\frac{2}{7}\right)^{n-1}$$$$\phantom{a_n-a_{n-1}}=\left(-\frac{2}{7}\right)^{n-2}(a_2-a_1)\cdot\left(\frac{49}{18}\cdot\left(-\frac{2}{7}\right)^2-\frac{49}{18}\cdot\left(-\frac{2}{7}\right)\right)$$$$\phantom{a_n-a_{n-1}}=\left(-\frac{2}{7}\right)^{n-2}(a_2-a_1)\cdot\left(\frac{4}{18}+\frac{14}{18}\right)$$$$\phantom{a_n-a_{n-1}}=\left(-\frac{2}{7}\right)^{n-2}(a_2-a_1)$$
