Wie berechne ich das Konvergenzverhalten von unendlichen Reihen?

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die folgenden Reihe:

∑\( \frac{1}{3^{2k+4} } \)

 von k=0 bis unendlich

Problem/Ansatz:

Ich denke, es hat etwas mit der geometrischen Reihe zu tun, aber komme da nicht weiter. 

Bitte um vollständigen Lösungsweg, damit ich es vollständig verstehen kann.

Vielen Dank schonmal im Voraus!

Answer 1

Hallo

1.ziehe 1/3^4 aus der Summe

2. schreibe statt 1/3^2k=1/9^k

dann hast du die geometrische Reihe.

Gruß lul

Comments

Schritt 2 habe ich verstanden, danke!

Schritt 1 ist mir unklar, da ich dann ja den Exponent k von der Basis trennen muss,

Vielleicht so? 1/9^k+4 = 1/9^k * 1/9⁴

Dann (vor allen Zeile müsste das Summenzeichen stehen):

∑1/9^k * 1/9⁴

= ∑1/9^k *1/6561

= 1/6561 * ∑1/9^k

und was mache ich jetzt damit?

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Ich habe gefunden, dass bei der geometrischen Reihe diese Form vorherrscht:

\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{q^k} \) . Dann gilt \( \frac{1}{1-q} \).

Ich habe ein Problem damit dass ich nicht q^k habe sondern 1/q^k.

Darf ich dann einfach sagen, das ich (1/9)^k habe ? Denn 1^k bleibt bei positiven k ja immer 1.

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Hallo

1/3^2k+4=1/3^2k*1/3^4 also nicht 1/9^4

dh vor der Summe steht 1/81 nicht 1/6561.

und die geometrische Reihe mit q=1/9 solltest du eigentlich kennen?

1/(1-q)=1/(8/9)=9/8

also insgesamt 1/81*9/8=1/72

Gruß lul

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Vielen lieben Dank! Jetzt hab ich diese Aufgabe verstanden!! Gruß

Answer 2

Aloha :)

$$S:=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1}{3^{2k+4}}=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1}{3^{2k}\cdot3^4}=\frac{1}{81}\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1}{{(3^2)}^k}=\frac{1}{81}\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1}{{9}^k}$$Damit haben wir die Reihe auf eine geometrische Reihe reduziert, \(\sum\limits_{k=0}^\infty q^k=\frac{1}{1-q}\), und erhalten:$$S=\frac{1}{81}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{9}}=\frac{1}{81}\cdot\frac{9}{8}=\frac{1}{72}$$