Ja, das glaub ich, weil Du sie falsch wiedergeben hast...
Lesen bildet ;-)
https://www.mathelounge.de/246571/beweisen-adischen-entwicklung-rational-geometrische-reihe
Ich entnehme Deinem Beitrag zum Link, dass nachgearbeitet werden muss.
Teilen wir die Summe an der (Nachkomma)Stelle K_0=5 in einen unregelmäßigen Part (K_0-1 Stellen) und einen periodischen Summenpart (K_0...oo) mit der Periode(nlänge) L=3 auf
\( \sum_{k=1}^{k_0 - 1}\frac{a_k}{b^{k}} + \sum_{k=k_0}^{∞}\frac{a_k}{b^{k}} \)
Z.B. sieht das für 5 Perioden aus wie
\( \sum_{j=0}^{4}\sum_{k=K_0}^{K_0 + L - 1}\frac{a\left(k \right)}{b^{k + L \; j}} ⇒ oder ⇒ \sum_{k=K_0}^{K_0 + L - 1}\sum_{j=0}^{4}\frac{a\left(k \right)}{b^{k + L \; j}} \)
ausgeschrieben
\( \left(\begin{array}{rrr}\frac{a\left(5 \right)}{b^{5}}&\frac{a\left(6 \right)}{b^{6}}&\frac{a\left(7 \right)}{b^{7}}\\\frac{a\left(5 \right)}{b^{8}}&\frac{a\left(6 \right)}{b^{9}}&\frac{a\left(7 \right)}{b^{10}}\\\frac{a\left(5 \right)}{b^{11}}&\frac{a\left(6 \right)}{b^{12}}&\frac{a\left(7 \right)}{b^{13}}\\\frac{a\left(5 \right)}{b^{14}}&\frac{a\left(6 \right)}{b^{15}}&\frac{a\left(7 \right)}{b^{16}}\\\frac{a\left(5 \right)}{b^{17}}&\frac{a\left(6 \right)}{b^{18}}&\frac{a\left(7 \right)}{b^{19}}\\\end{array}\right) ,⇒, \left(\begin{array}{rrrrr}\frac{a\left(5 \right)}{b^{5}}&\frac{a\left(5 \right)}{b^{8}}&\frac{a\left(5 \right)}{b^{11}}&\frac{a\left(5 \right)}{b^{14}}&\frac{a\left(5 \right)}{b^{17}}\\\frac{a\left(6 \right)}{b^{6}}&\frac{a\left(6 \right)}{b^{9}}&\frac{a\left(6 \right)}{b^{12}}&\frac{a\left(6 \right)}{b^{15}}&\frac{a\left(6 \right)}{b^{18}}\\\frac{a\left(7 \right)}{b^{7}}&\frac{a\left(7 \right)}{b^{10}}&\frac{a\left(7 \right)}{b^{13}}&\frac{a\left(7 \right)}{b^{16}}&\frac{a\left(7 \right)}{b^{19}}\\\end{array}\right) \)
Links die Anordnung aufeinander folgender Stellen a(k) oder rechts die Anordnung gleicher Stellen a(k) mit aufeinander folgenden Potenzen b^k. Zur weiteren Betrachtung nehmen wir die Anordnung der rechten Seite mit unendlich vielen Periodenfolgen - Die Unendlich-Summe wird als geometrische Reihe berechnet:
\(\sum_{k=k_0}^{k_0 + \ell - 1}\sum_{j=0}^{∞}\frac{a\left(k \right)}{b^{k + \ell \; j}} = \sum_{k=k_0}^{k_0 + \ell - 1}b^{-k + \ell} \cdot \frac{a\left(k \right)}{b^{\ell} - 1}\)
und zusammengefasst erhalten wir
\(\frac{b^{\ell}}{b^{\ell} - 1} \; \sum_{k=k_0}^{k_0 + \ell - 1}\frac{a\left(k \right)}{b^{k}}\)
eine endliche Summe von Brüchen.
Beim Addieren von Brüchen erhält man wieder einen Bruch, eine rationale Zahl
q.e.d.
