Lineare Algebra - Gruppenhomomorphismus-Folgerung (bzw. Eigenschaft) unklar.

Question

Aufgabe:

Sei \( \phi : G \rightarrow H \) Gruppenhomomorphismus.

Dann gilt

a) \( \phi(e) = \phi(e)^{-1} \)

b) \( \phi(a^{-1}) = \phi(a)^{-1} \)

c) Falls \( \phi \) ein Isomorphismus ist,
so ist die Umkehrabbildung $$ \phi^{-1} : H \rightarrow G $$ wieder ein Gruppenhomomorphismus. 
(auch Isomotphismus)

Vermutung: 

a)
Sagt wenn ich das Neutrale Element aus G abbilde, erhalte ich das neutrale Element aus H. 


Unverständlich: 

b)
Was sagt diese Aussage aus? 

c)
Ist ein Gruppenhomomorphismus bijektiv, so existiert zu dem Gruppenhomomorphismus auch eine Umkehrabbildung. 
Wenn man diese Umkehrabbildung dann betrachtet, stellt man fest das diese Umkehrabbildung ebenfalls ein Gruppenhomomorphismus ist. In Klammern steht dan, dass es auch ein Isomorphimus ist, das ist doch weil es bereits den Gruppenhomomorphismus.

Answer 1

a) Sagt wenn ich das Neutrale Element aus G abbilde, erhalte ich das neutrale Element aus H.

Nein,  ϕ(e) = ϕ(e) ^(-1)  sagt aus:

wenn ich das Neutrale Element aus G abbilde,  erhalte ich ein Element, das gleich seinem

Inversen ist.

Und beweisen kannst du das, indem du zeigst, dass  ϕ(e) mit    ϕ(e)  in H verknüpft das

neutrale Element von H ergibt. dass also   ϕ(e)*ϕ(e) = e_H ist.

Wegen Hom ist   ϕ(e)*  ϕ(e) =  ϕ(e*e)  = ϕ(e)  = e_H  .

Und b besagt:  Wenn ich das inverse Element von a abbilde, dann erhalte ich

das inverse des Bildes von a.  Also musst du zeigen, dass  ϕ(a^(-1)) mit  ϕ(a) multipliziert

das neutrale Element von H ergibt.

Bew:      ϕ(a^(-1)) *  ϕ(a)    wegen Hom

             =  ϕ(a^(-1)*a)

            =  ϕ(e)   =  e_H  .

c) Wenn man diese Umkehrabbildung dann betrachtet, stellt man fest das diese Umkehrabbildung ebenfalls ein Gruppenhomomorphismus ist.

Das muss man wohl beweisen, es ist also für alle a,b aus H zu zeigen :

ϕ^(-1) (a*b) = ϕ^(-1) (a)* ϕ^(-1) (b)

Bew.:  ϕ^(-1) (a) ist das Element x von G , für welches gilt  ϕ (x) = a

entsprechend   ϕ (y) = b   und weil  ϕ ein Hom. ist, gilt :

a*b =  ϕ (x) *  ϕ (y)   =   ϕ (x*y)

==>    ϕ^(-1) (a*b) =    ϕ^(-1) (   ϕ (x*y)   ) = x*y  =  ϕ^(-1) (a) *  ϕ^(-1) (b)

Comments

Vielen Dank ! :-)