Aufgabe:
Sei \( f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) eine stetige Funktion mit \( f(a)<0<f(b) . \) Zeigen Sie: Es gibt ein \( x_{0} \in[a, b] \) mit \( f\left(x_{0}\right)=0 \).
Anleitung: Definieren Sie induktiv eine Folge \( \left[a_{n}, b_{n}\right] \subset[a, b] \) von Intervallen durch
$$ \begin{aligned} \left[a_{1}, b_{1}\right] &=[a, b] \\ \left[a_{n+1}, b_{n+1}\right] &=\left\{\begin{array}{ll} {\left[a_{n}, m_{n}\right],} & {\text { falls } f\left(m_{n}\right) \geq 0} \\ {\left[m_{n}, b_{n}\right],} & {\text { falls } f\left(m_{n}\right)<0} \end{array}\right. \end{aligned} $$
wobei \( m_{n}:=\dfrac{a_{n}+b_{n}}{2} \) und \( n \in \mathbb{N} . \)
Zeigen Sie dann, dass es ein \( x_{0} \in[a, b] \) gibt mit \( a_{n} \rightarrow x_{0} \text { und } b_{n} \rightarrow x_{0} \) für \( n \rightarrow \infty \) sowie \( f\left(x_{0}\right)=0 \).
Problem:
Ich weiß zwar wie ich vorgehen soll. Bin mir aber was die bearbeitung an sich angeht sehr unsicher. Ich weiß nicht, wie genau ich das zeigen soll und wie ich da weiter vorgehen muss.
