Berechne die Kovarianz mit den Zufallsgrößen X1 und X2

Question

Aufgabe:

Es seien \( X_{1} \) und \( X_{2} \) Zufallsgrößen mit \( \sigma_{1}^{2}=3, \sigma_{2}^{2}=14 \) und \( \operatorname{Cov}\left(X_{1}, X_{2}\right)=\sigma_{12}=-5 \)
Berechnen Sie \( \operatorname{Cov}\left(13 X_{1}+X_{2}, X_{1}+17 X_{2}\right) \)

Problem/Ansatz.

ich weiss, dass die Kovarianz bilinear ist. Hab mir die Beispiele die bereits vorhanden sind angeschaut komme aber nicht auf das richtige Ergebnis.

Answer 1

Aloha :)

Die Kovarianz ist eine Bilinearform, d.h. sie ist in jeder ihrer beiden Komponenten linear:$$\phantom{=}\operatorname{Cov}(13X_1+X_2;X_1+17X_2)$$$$=13\operatorname{Cov}(X_1;X_1+17X_2)+\operatorname{Cov}(X_2;X_1+17X_2)$$$$=13\left(\;\operatorname{Cov}(X_1;X_1)+17\operatorname{Cov}(X_1;X_2)\;\right)+\left(\;\operatorname{Cov}(X_2;X_1)+17\operatorname{Cov}(X_2;X_2)\;\right)$$$$=13\operatorname{Cov}(X_1;X_1)+221\operatorname{Cov}(X_1;X_2)+\operatorname{Cov}(X_2;X_1)+17\operatorname{Cov}(X_2;X_2)$$$$=13\operatorname{Var}(X_1)+222\operatorname{Cov}(X_1;X_2)+17\operatorname{Var}(X_2)$$$$=13\sigma_1^2+222\sigma_{12}+17\sigma_2^2$$$$=13\cdot3+222\cdot(-5)+17\cdot14$$$$=-833$$

Comments

fix danke habs auch gerade eben raus bekommen :)