Zusammenhang der Exponentialfunktion mit den trigonometrischen Funktionen

Question

kann mir jemand die Reihendarstellung der Exponentialfunktion so verständlich wie möglich in die Addition von Sinus und Cosinus umformen ? Oder mir erklären wie man bei (https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus) unter dem Punkt 3. Analytische Definition -> Beziehung zur Exponentialfunktion auf diese Umformung kommt ? Um genau zu sein die oberste Umformung, bei der e^(ix) in diese 2 Reihen aufgeteilt wird. Diese Reihen entsprechen doch jeweils exp(ix), wäre das dann nicht 2*exp(ix) ?

Answer 1

Diese Reihen entsprechen doch jeweils exp(ix),

Nicht ganz. Das sind ja  Reihen bei denen entweder nur die geraden oder nur die

ungeraden Potenzen von x vorkommen. Und das sind genau die

Reihen für sin und cos.