Stammfunktion einer Trigonometrischen Funktion

Question

Ich verstehe leider nicht wie ich die Stammfunktion dieser Funktion bilden soll: f(x) = sin(2*x+1)-cos(x+1)dx.

Kann mir jemand bitte helfen?

MfG

Answer 1

f(x) = sin(2x+1) - cos(x+1)

Stammfunktion:

F_c(x) = - 1/2 · cos(2x+1) - sin(x+1)  + c        [ c = Integrationskonstante ]

Gruß Wolfgang 

Comments

Wie kommt man auf die 1/2? Weil x+1 ist doch aufgelitten eig. 1/2x^2 + x.

---

Die Ableitung  von cos(2x+1)  ist  - sin(2x+1) * 2   [ 2 = innere Ableitung ]

Da aber -sin(2x+1) rauskommen soll, benötigt man bei der Stammfunktion den Faktor 1/2 , damit sich die innere Ableitung 2 wegkürzt.

Stammfunktionsterm von f(ax+b)  ist deshalb 1/a · F(ax+b),

Answer 2

In welcher Reihe auf-oder abgelitten wird ist dir klar

sin
cos
-sin
-cos
sin
...

f(x) = sin(2*x+1)-cos(x+1)dx.
kann aufgeteilt werden in
∫ sin(2x+1) dx - ∫ cos( x+ 1) dx

probeweise
der erste Term sin() kann nur aus dem -cos () kommen
[ -cos(2x+1) ] ´= sin ( 2x+ 1) * 2
das * 2 stört und wird aufgehoben durch
[1/2 *  -cos(2x+1) ] ´= 1/2 * sin ( 2x+ 1) * 2
= sin(2x+1)
also ist
1/2 *  -cos(2x+1) eine Stammfunktion

2.Weg
∫ cos( x+ 1) dx
Ersetzen
z = x + 1
z ´= 1 = dz/dx
dz = dx
∫ cos( z) dz = sin ( z)
Rückersetzen
sin ( x + 1 )

Zusammen
S ( x ) = 1/2 *  -cos(2x+1) - sin(x+1)

Überprüfung durch probeweises Ableiten.