Berechnen Sie die trigonometrischen Polynome

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die trigonometrischen Polynome von

(1) f(x) = sin(2x) cos(3x)

(2) f(x) = sin² (x) cos³ (x)

Problem/Ansatz:

Formel P_n (x) = \( \frac{a0}{2} \) + \( \sum\limits_{k=1}^{n}{ak cos(kx) + bk sin(kx)} \)

Wie rechnet man das? Vorab Danke!

Comments

Zu (2). Laut Formelsammlung gilt
\(\quad(1)\quad\cos^3 x=\frac14(3\cos x+\cos3x)\)
\(\quad(2)\quad\cos^5x=\frac1{16}(10\cos x+5\cos3x+\cos5x)\)
\(\quad(3)\quad\sin^2x=1-\cos^2x\).
Damit rechnet man
\(\sin^2x\cos^3x=(1-\cos^2x)\cos^3x=\cos^3x-\cos^5x=\frac18\cos x-\frac1{16}\cos3x-\frac1{16}\cos5x\).

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So macht es Sinn- Danke!

Answer 1

Hallo ich denke es geht nicht um die Fourrierreihe, wenn man es Polynoms nennt, sondern um Potenzen von cos oder sin-

dann gilt etwa sin^2x=1-cos^2(x) und  cos (3x) = 4 cos^3 (x )- 3 cos( x)

weiteres in https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Winkelfunktionen_für_weitere_Vielfache

Falls wirklich die Fourrierreihe gemeint ist sieh auch in wiki oder dem Vorlesungsskript.

Gruß lul

Comments

Das Arbeitsblatt gehört tatsächlich zum Themengebiet Fourierreihen. In der Aufgabe steht aber ausschließlich "trigonometrisches Polynom".

Über die Formeln (Wikipedia) komme ich für (1) auf das richtige Ergebnis:

-1/2 sin(x) + 1/2 sin(5x), d.h. es gilt sin(-x) = -sin(x) [?]

Für (2) finde ich zwar Formeln für sin^2 und cos^3, allerdings nicht als Produkt.

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Die Lösung für (2) lautet:

\( \frac{1}{8} \) cos x - \( \frac{1}{16} \) cos 3x - \( \frac{1}{16} \) cos 5x

Answer 2

Hallo,

Wie rechnet man das?

im allgemeinen wohl so:$$a_k = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(kx)\, \text dx\quad k \in \mathbb{N}_0\\ b_k = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(kx)\, \text dx\quad k \in \mathbb{N}$$allerdings muss ich gestehen, dass ich auch nicht weiß wie man z.B. dieses Integral löst$$\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} \sin(2x)\cos(3x)\sin(x)\,\text dx = \space ?$$Wolfram alpha und Desmos liefern zuverlässig$$\dots = -\frac{1}{2}$$was mit dem Ergebnis überein stimmt.

Als Hilfe sei noch erwähnt, dass \((1)\) eine ungerade Funktion ist und somit alle \(a_k=0\) sind. Im Gegensatz dazu ist \((2)\) eine gerade Funktion und folglich sind die \(b_k=0\).

Gruß Werner