Zeichne ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 (blau). Der Flächeninhalt ist 1 Flächeneinheit.
Zeichne eine Diagonale des Quadrats ein und über der Diagonalen ein weiteres Quadrat (schwarz).
https://www.desmos.com/calculator/w7w6oxyloa
Das neue Quadrat ist doppelt so groß wie das erste, also 2 Flächeneinheiten.
Da für den Flächeninhalt gilt A=a², ergibt sich für das größere Quadrat 2=a².
Wir suchen also eine Zahl a, die mit sich selbst multipliziert 2 ergibt.
Dann probieren wir mal aus ohne die Wurzeltaste zu benutzen.
1,4²=1,96 ; 1,5²=2,25
Die gesuchte Zahl muss also zwischen 1,4 und 1,5 liegen.
Nun probieren wir das mit immer mehr Nachkommastellen und finden a ist ungefähr 1,4142.
Jetzt muss noch gezeigt werden, dass die gesuchte Zahl nicht als Bruch geschrieben werden kann.
Beweis durch Widerspruch:
Wir nehmen an, dass \(\sqrt 2\) doch als Bruch geschrieben werden kann und zeigen, dass das zu einem Widerspruch führt. Dann wissen wir, dass es noch mehr Zahlen als die rationalen Zahlen geben muss.
\(\sqrt 2 = \frac{p}{q}\)
Der Bruch soll vollständig gekürzt sein; das ist wichtig. p und q seien natürliche Zahlen.
Wir quadrieren die Gleichung:
\(2 = \frac{p^2}{q^2}\)
\(2q^2=p^2\) (*)
\(p^2\) ist also eine gerade Zahl und damit auch \(p\).
Wir können daher schreiben: \(p=2r \Rightarrow p^2=4r^2\). Dabei ist auch r eine natürliche Zahl.
Das setzen wir in (*) ein:
\(2q^2=4r^2\)
\(q^2=2r^2\)
Oh, q ist auch eine gerade Zahl, genau wie p, dabei sollte der Bruch doch schon vollständig gekürzt sein.
Das ist ein Widerspruch. \(\sqrt 2\) ist also keine rationale Zahl, sondern irrational.
Deshalb muss der Zahlenbereich erweitert werden.
