Zahlenfolgen - kann mir das mal bitte jemand erklären?b

Question

Hallo :-)

Unser Mathelehrer hat heute angekündigt das wir am Montag 'ne Kurzklausur zum Thema Zahlenfolgen schreiben, wovon ich aber leider überhaupt keinen Plan habe. Ich habe hier drei Beispielaufgaben - könnt ihr mir die Ganze Sache anhand der Aufgaben mal erklären? Habe schon das ganze Internet durchforstet, aber so wirklich weitergekommen bin ich nicht.

1) a_n=n/(n+1)

2) a_n=(-1)ⁿ×(2/n)

3) a_n=(-1)ⁿ⁺¹(2n-1/1-4n²)

Es gilt jeweils n∈ℕ und die Fragen sind jeweils folgende:

a) Ist die Folge nach oben bzw. nach unten beschränkt? Bestimme gegebenenfalls das Supremum bzw. das Infimum.

b) Ist die Folge monoton wachsend oder monoton fallend?

c) Ist die Folge konvergent? Bestimme gegebenenfalls den Grenzwert!

Ich weiß ja das für eine monoton wachsende Folge folgendes gilt: a_n+1≥ a_n 

Bei der monoton fallenden Folge gilt das ja analog, nur dass das Relationszeichen "andersrum" "ist". :-)

Und nach oben beschränkt ist eine Folge, wenn folgendes gilt: a_n ≤ S. Demzufolge ist sie nach unten beschränkt wenn gilt a_n ≥ S. Aber was genau ist denn dieses S? Und wie berechne ich dieses? Und vom Supremum (ist das vielleicht dieses S?) und Infimum hab ich auch keine Ahnung :-/.

Mein Hauptproblem ist, dass ich nicht weiß, wie ich mit diesen Formeln/Vorschriften umgehen muss. Was ist denn z.B. a_n+1 ?

Ihr sollt hier echt nicht meine Hausaufgaben machen, das sind nur Übungsaufgaben zur Vorbereitung auf die Klausur. Ihr müsst die Aufgaben auch nicht unbedingt komplett Lösen, es reicht auch wenn ihr mir einen Ansatz gebt und ich dann meine Ergebnisse (morgen früh^^) hier poste.

Vielen Dank schonmal und 'nen schönen Abend,

Sarah

Answer 1

Hallo Sarah

Bitte bilde doch mal für deine Folgen die ersten 5 Glieder. Dann kannst du sicher einen Verdacht äußern wie sich die Folgen verhalten. Dann solltest du das ganze nur noch rechnerisch begründen.

z.B.

an = n/(n + 1)

a1 = 1/2

a2 = 2/3

a3 = 3/4

a4 = 4/5

a5 = 5/6

Verdacht. Streng monoton Steigend mit der oberen Schranke 1. Kleinster Wert ist 1/2. Die Folge konvergiert gegen 1.

Streng monoton steigend

an+1 > an

(n + 1)/(n + 2) > n/(n + 1)

(n + 1)(n + 1) > n(n + 2)

n^2 + 2n + 1 > n^2 + 2n

1 > 0

Konvergenz gegen 1

an < 1

n/(n + 1) < 1

n < n + 1

0 < 1

Comments

Der zweite Teil ist kein gültiger Beweis für die Konvergenz gegen 1. Es wurde nur gezeigt, dass 1 eine obere Schranke ist.

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Ok. Mach ich besser

lim (n --> ∞) n / (n + 1) 

lim (n --> ∞) 1 / (1 + 1/n) = 1

Alternativ Polynomdivision

n / (n + 1) = 1 - 1/(n + 1)

lim (n --> ∞) 1 - 1/(n + 1) = 1