Lineare Abbildung angeben

Question

Hallo, ich hoffe hier kann mir jemand weiterhelfen. Ich weiß leider gar nicht, wie ich da vorgehen muss.

a) Geben Sie eine lineare Abbildung f : V → W an, für die f (0) = 0 gilt sowie f(v+w) =f(v) +f(w) für alle v, w ∈ V, die aber nicht linear ist.

b) Geben Sie eine lineare Abbildung g : V → W an, für die g(λv) =λg(v) für alle v ∈ V, λ ∈ K gilt, die aber nicht linear ist.

Besten Dank schon mal!

Comments

Eine lineare Abbildung, die nicht linear ist ?

Das wird schwierig.

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Ja so ist aber die Aufgabenstellung. Habe die 1:1 kopiert

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Hat vielleicht irgendjemand noch eine Idee?

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zu vielleicht:

Betrachte ℂ als   ℂ-Vektorraum über sich selbst und

die Abbildung     f :  ℂ  ---->  ℂ

                                z ------>  Re(z)

ist additiv, aber nicht homogen, weil z.B.

                      f(i*z) ≠ i*f(z)

habe meine alte Antwort auch noch korrigiert.

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Danke schonmal für deine Bemühungen mathef!!!

Heute kam bei der Vorlesung raus, dass die Aufgabe falsch gestellt worden ist. Leider weiß ich nicht, wie ich meinen ursprünglichen Beitrag bearbeite.

Es soll natürlich so heißen :D

a) Geben Sie eine Abbildung f : V → W an, für die f (0) = 0 gilt sowie f(v+w) =f(v) +f(w) für alle v, w ∈ V, die aber nicht linear ist.

b) Geben Sie eine Abbildung g : V → W an, für die g(λv) =λg(v) für alle v ∈ V, λ ∈ K gilt, die aber nicht linear ist.

Hat dazu jemand Ansätze bzw. Vorschläge?

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Passt doch, was ich da angegeben hatte waren eben keine

lineare Abbildungen, sondern einfach nur Abbildungen, die die

vorgegebene Eigenschaft hatten aber eben NICHT linear waren.

Lineare Abbildungen müssen ja beide Eigenschaften haben, und eine

davon reicht halt nicht.

Answer 1

Bei b) könnte es so sein:   (soll ja wohl nicht linear sein )

f: R^2 → R  mit  f(x,y) = x^2 / y   für y≠0 und f(x,y)=0  sonst.

Comments

Danke dir, gucke ich mir gleich mal genauer an.

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Magst du mir dein Beispiel nochmal genauer erklären? Ich sitze da gerade schon eine ganze Zeit dran, aber tu mich gerade etwas schwer.

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Gern, du brauchst eine Abbildung, die homogen aber nicht linear ist.

Es soll also gelten f(λv) =λf(v) für alle v ∈ V, λ ∈ K

aber nicht  f(v+w) =f(v) +f(w) für alle v, w ∈ V.

Seien also (x,y)  ∈ V und  λ ∈ K, dann gilt

f(λv)  =  f(λ*(x,y) ) = f(λ*x,λ*y) = (λ*x)^2 / (λ*y) = (λ^2 *x^2 ) / (λ*y)

(λ  kürzen gibt  )     =  (λ *x^2 ) / y  =   λ*   ( x^2 / y ) =   λ* f  ( x ,  y ) .

Das 1. ist also erfüllt.

Und wenn du z.B.  v = (1 ; 2 )  und  w = ( 1 ; 3 ) nimmst,

dann ist v+w = 5/6   also f(v+w) = 25/6 .

Aber f(v) = 1^2/2 = 1/2    und  f(w) = 1^2 / 3  = 1/3

und 1/2 + 1/3 ist jedenfalls nicht gleich 25/6.

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Danke dir, dass hat mir sehr weitergeholfen. Jetzt habe ich b) auch ganz verstanden. Muss aber ehrlich sagen, dass ich dein Beispiel zu a) gar nicht verstehe. Magst du mir dazu auch nochmal was genaues zu sagen bzw. genauer erläutern.