Monotonie einer Funktion beweisen (ohne Differentialrechnung)

Question

Beweisen Sie (ohne Verwendung von Differentialrechnung):

Die Funktion \( f: \Re \backslash\{0\} \rightarrow \Re \) mit \( f(x)=\frac{1}{x} \) ist

a. in \( \Re^{-} \) streng monoton fallend.

b. in \( \Re^{+} \) streng monoton fallend.

c. nicht monoton in \( \Re \backslash\{0\} \)

Answer 1

Aloha :)

Wegen der Definitionslücke bei \(x=0\) betrachten wir 2 Fälle.

1. Fall: \(x>0\)

Sei x'>x, dann gilt:$$\frac{1}{x'}-\frac{1}{x}=\frac{\overbrace{x-x'}^{<0}}{\underbrace{xx'}_{>0}}<0\quad\Rightarrow\quad\text{streng monoton fallend}$$2. Fall: \(x<0\)

Sei 0>x'>x, dann gilt:$$\frac{1}{x'}-\frac{1}{x}=\frac{\overbrace{x-x'}^{<0}}{\underbrace{xx'}_{>0}}<0\quad\Rightarrow\quad\text{streng monoton fallend}$$Die Funktion ist streng monoton fallend in \(\mathbb{R}^-\) und in \(\mathbb{R}^+\).

Answer 2

Weise (durch elementare Umformungen der Ungleichung) nach, dass aus a<b<0 stets 1/a >1/b folgt.

Weise nach, dass aus 0<a<b stets 1/a >1/b folgt.

Weise nach, dass aus a<b sowohl  1/a >1/b als auch  1/a <1/b folgen kann.