Monotonie und Krümmungsverhalten von y= 0.25 x^3 - 1.5x^2

Question

Aufgabe:

y= 0.25 x^3 - 1.5x^2

Problem/Ansatz:

Wie kann man

1-) Monotonie

2-) Krümmungsverhalten

Finden ?

Ich wäre sehr dankbar für die ausführliche Antwort.

Answer 1

zu 2)

1. Ableitung bestimmen und dann diese noch mal ableiten (also die 2. Ableitung bestimmen)
2. Die Nullstellen der 2. Ableitung bestimmen (gibt es keine, dann heißt das die Funktion ist immer gleich gekrümmt)
3. An den Nullstellen ändert sich das Krümmungsverhalten (das sind die Wendepunkte).
4. Werte vor und nach den Nullstellen in die 2. Ableitung einsetzen und gucken, ob sie positiv oder negativ sind.
                              * Ist der Wert negativ, ist die Funktion rechts gekrümmt
                              *Ist der Wert positiv, ist die Funktion links gekrümmt
5. Die Krümmung der Funktion bleibt dann den ganzen Bereich bis bzw. ab den Nullstellen der 2. Ableitung gleich! Gibt es keine Nullstellen bei der 2. Ableitung, dann ist die Funktion immer gleich gekrümmt.

Das habe ich hier kopiert, fand ich ganz gut erklärt.

Comments

3. An den Nullstellen ändert sich das Krümmungsverhalten (das sind die Wendepunkte).

Aber nur dann, wenn f "(x) dort sein Vorzeichen ändert (vgl. 4.)

Answer 2

y= 0.25 x^3 - 1.5x^2
Wie kann man
1-) Monotonie ( Steigungsverhalten )
2-) Krümmungsverhalten
bestimmen

f ( x ) = 0.25 x^3 - 1.5x^2
f ´ ( x ) = 0.75 x^2 - 3x
Steigung positiv
0.75 x^2 - 3x > 0
x^2 - 4x > 0
quadratische Ergänzung
x^2 - 4x + 2^2 > 2^2
( x - 2 )^2 > 2^2
x - 2 > 2
x > 4
und
x - 2 < -2
x < 0

Steigung negativ
0 < x < 4

Krümmung
f ´´ ( x ) = 1.5 x - 3
Linkskrümmung
1.5 x - 3 > 0
1.5x >3
x > 2

Bei Bedarf nachfragen.