Aufgabe:
Ein Hersteller von Leuchtmitteln behauptet, dass die Durchschnittslebensdauer eines seiner Leuchtmittel mindestens µ0 = 10.000 Stunden. Wir vermuten, der Hersteller lügt,
d.h., H1 besagt, dass die Lebensdauer unter µ0 = 10.000 liegt. Wir führen eine Stichprobe
mit n = 30 Leuchtmitteln durch, bei der herauskommt, dass die Leuchtmittel im Schnitt
nur x¯ = 9.800 Stunden durchhalten. Können wir die Behauptung, dass die Lebensdauer
mindestens µ0 = 10.000 ist, nun zurückweisen? Nehmen Sie an, dass die Durchschnittslebensdauer für die Leuchtmittel normalverteilt ist bei einer Standardabweichung von
σ = 120 Stunden. Ihre konkreten Aufgaben sind:
(a) Nennen Sie die grundlegenden Annahmen, die in der Aufgabenstellung enthalten
sind, um den Hypothesentest durchzuführen. Erläutern Sie, welche Auswirkungen es
hat, wenn die Annahmen verletzt werden.
(b) Zeichnen Sie die Ausgangslage, indem Sie die Normalverteilung mit µ0 zeichnen und
x¯ einzeichnen (quasi wie auf Folie 50, Foliensatz 4).
(c) Führen Sie einen Hypothesentest durch, indem Sie die Fläche unter der Kurve bis x¯
berechnen:
(i) Markieren Sie diese Fläche in Ihrer Zeichnung.
(ii) Führen Sie eine z-Transformation für x¯ durch. Schlagen Sie anschließend den
entsprechenden Wert in der z-Tabelle der Standardnormalverteilung nach (Folie
54, Foliensatz 4 oder https://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_Standardno
rmalverteilung, wobei Φ0;1(−z) = 1 − Φ0;1(z)) und geben ihn an.
(iii) Lehnen Sie die 0-Hypothese ab oder akzeptieren Sie sie bei α5 = 0,05 und bei
α1 = 0,01? Begründen Sie kurz.
(d) Berechnen Sie die Grenze für den Ablehnungsbereich, indem Sie den Wert x
0 berechnen, bis zu dem die Fläche unter der Kurve gleich α5 bzw. α1 ist. Was bedeutet der
Wert, den Sie für x
0
erhalten?
Hinweis: Sie müssen die Schritte aus (c) invertieren.
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(e) Nehmen Sie an, dass µ0 der tatsächliche Mittelwert µ ist und damit die 0-Hypothese
wahr ist. Welche Mittelwerte müssen Stichproben haben, damit ein Typ-1-Fehler
vorliegt?
(f) Nehmen Sie an, dass der tatsächliche Mittelwert µ = 9.650 ist. Unsere 0-Hypothese
bleibt bestehen, d.h., die Lebensdauer liegt bei mindestens µ0 = 10.000.
(i) Erläutern Sie, ob Sie bei Ihrer Einschätzung in (c.iii) einen Fehler der 2. Art
begangen haben.
(ii) Ab welchen Mittelwerten von Stichproben liegt ein Typ-2-Fehler vor bei α1 und
α5?
(iii) Zeichnen Sie das Szenario mit µ und dem Mittelwert aus (ii), ab welchem bei
α1 ein Typ-2-Fehler vorliegt. Markieren Sie die Fläche unter der Kurve rechts
von diesem Mittelwert. Was bedeutet diese Fläche?
Problem/Ansatz:
Hänge grad bereits an an a fest,
dass die Durchschnittslebensdauer für die Leuchtmittel normalverteilt ist bei einer Standardabweichung von
σ = 120 Stunden. Was ist, wenn diese verletzt ist? Dann weichen die Differenzen doch mehr ab ?
