DGL, Bestimmen eines Fundamentalsystems

Question

Aufgabe:

Für  x ∈ ]0, ∞[ sei 

\( y^{\prime}=A(x) y \)

\( A(x)=\left(\begin{array}{cc}{2} & {\frac{1}{x^{2}}} \\ {0} & {\frac{3}{x}}\end{array}\right) \)

a) Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem fur das lineare Differentialgleichungssystem

Hinweis: Man muss die spezielle Struktur des Differentialgleichungssystems
ausnutzen

b)  Bestimmen Sie ferner eine Lösung fur die Anfangsbedingung y(1)= (0 (darunter -1))

LG

Answer 1

Hallo,

a)

1) y₁'= 2y₁ +(1/x^2)y₂

2) y₂'=            (3/x)y₂

_{------------------------------------}

_{Lösung 2 mittels Trennung der Variablen:}

_{dy2/dx= (3/x) y2}

_{dx2/y2=(3/x) dx}

_{y2= C1 *x^3}

_{->eingesetzt in 1):}

_{y1' -2y1= Cx ->Variation der Konstanten}

\( F S =\left(\begin{array}{ccc}{-\frac{x}{2}-\frac{1}{4}} & {e^{2 x}} & {} \\ {x^{3}} & {0}\end{array}\right) \)

 b) Einsetzen der AWB in die Lösung

_{y1=1/4( 2x -3e^(2x-2) +1)}

_{y2= -x^3}

Comments

Sorry, ich bins wieder, meine Frage: Ist die Matrix FS wie folgt aufgebaut?

1.Zeile, 1.Spalte: partikuläre Lösung von y1

1. Zeile, 2. Spalte: homogone Lösung von y1

analog 2. Zeile partikuläre und homogene Lösung von y2 ?

---

Folgende Lösung:

\( \mathrm{y} 1(x)=c_{1}\left(-\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\right)+c_{2} e^{2 x} \)

\( y 2(x)=c_{1} x^{3} \)

Beim Fundamentalsystem  brauchst Du nur das C weglassen, es ist nur eine andere Schreibweise:

\( F S=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{x}{2}-\frac{1}{4} & e^{2 x} \\ x^{3} & 0\end{array}\right) \)