DGL homogen mit variablen Konstanten - Trennung der Variablen

Question

Situation: 

Es geht um die gleichung:$$\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} t}=a(t) \cdot u$$

Trennung der Variabeln

Alles was von \(u\) abhängt muss auf eine Seite rüber: $$\frac{\mathrm{d} u}{u}=a(t) \cdot \mathrm{d} t$$

Dann wird auf beide Seiten das unbestimmte Integral gebildet. 

Und es wird im Skript folgender Weg gezeigt:$$\begin{aligned} & \int \frac{\mathrm{d} u}{u}=\int a(t) \cdot \mathrm{d} t \\ \Rightarrow & \ln u=\int a(t) \cdot \mathrm{d} t+c_{1} \\ \Rightarrow & u=e^{\left\{\int a(t) \cdot \mathrm{d} t+c_{1}\right\}} \end{aligned}$$

Fragen:

a) Wieso entsteht, wenn ich links ln(u) erhalte keine Integrationskonstante ? 
b) Ist diese Integrationskonstante nicht \(c_1\) ?
c) Wieso ist sie dann auf der rechten Seite rübergenommen worden und hat ein Plus als Vorzeichen ?
d) Wenn letztendendes nach \(u\) aufgelöst ist, bemerke ich auf der rechten Seite immernoch das Integral im Exponenten.
Bedeutet das, dass das Integral rechts gar noch nie berechnet worden ist ?

Answer 1

Hallo,

Allgemein steht immer :

.......+C1 =....+C2   |-C1

Man fasst das Ganze immer zu einer Integrationskonstanten zusanmen.

.......=....+C2 - C1  (C2-C1)=K

.......=....+K

Dabei spielt die Wahl der Konstanten keine Rolle.

Answer 2

Wieso entsteht, wenn ich links ln(u) erhalte keine Integrationskonstante ?   s.u.
b) Ist diese Integrationskonstante nicht c1?   Bringe das c1 einfach auf die andere Seite , dann ist es einsichtig
c) Wieso ist sie dann auf der rechten Seite rübergenommen worden und hat ein Plus als Vorzeichen ?

Das ist Geschmackssache, vermutlich ahnt der Autor schon, dass im anderen Fall was

negatives herauskommt und vielleicht möchte sie das nicht.

    
d) Wenn letztendendes nach u aufgelöst ist, bemerke ich auf der rechten Seite immer noch das Integral im Exponenten.
Bedeutet das, dass das Integral rechts gar noch nie berechnet worden ist ?

Genau, das ist ja nur so ne Formel. Man kennt ja das a noch gar nicht.