Antwort mit KI erzeugt
Titel der Frage: Flächenberechnung von Leibniz
Die Flächenberechnung von Leibniz in Worten erklären und 2 Kurven im positiven Bereich beschreiben.
Erklärung der Flächenberechnung von Leibniz
Gottfried Wilhelm Leibniz ist einer der Begründer der Infinitesimalrechnung, die heute als ein zentraler Teil der Analysis in der Mathematik bekannt ist. Einer der wesentlichen Aspekte der Infinitesimalrechnung ist die Flächenberechnung unter Kurven, auch als Integration bekannt.
Grundidee der Leibniz'schen Flächenberechnung:
Leibniz hat die Flächenberechnung unter einer Kurve als die Summe von unendlich vielen sehr kleinen Rechtecken betrachtet. Um die Fläche unter einer Kurve \(y = f(x)\) zwischen zwei Punkten \(a\) und \(b\) auf der x-Achse zu berechnen, hat er folgendes Prinzip angewendet:
1. Teilung der Strecke: Die Strecke \([a, b]\) wird in sehr viele kleine Intervalle der Breite \(\Delta x\) geteilt.
2. Rechteckige Approximation: Für jedes kleine Intervall wird die Höhe des Rechtecks als der Wert der Funktion \(f(x)\) an einem bestimmten Punkt innerhalb des Intervalls genommen.
3. Summe der Flächen: Die gesamte Fläche unter der Kurve wird durch die Summe der Flächen dieser kleinen Rechtecke approximiert.
4. Grenzwertprozess: Wenn die Breite \(\Delta x\) der Intervalle gegen null geht, wird die Summe der Flächen der Rechtecke zu einem Integral. Diese Summe wird durch das Symbol \(\int\) dargestellt.
Die formale Definition des bestimmten Integrals ist:
\( \int_{a}^{b} f(x) \, dx \)
Das bedeutet, wir summieren die infinitesimal kleinen Flächen \(f(x) \, dx\) von \(a\) bis \(b\).
Beispiel für die Flächenberechnung unter zwei Kurven im positiven Bereich:
Wir betrachten zwei Kurven \(y_1 = f_1(x)\) und \(y_2 = f_2(x)\) auf dem Intervall \([a, b]\) und nehmen an, dass \(f_1(x) \geq f_2(x)\) für alle \(x\) in \([a, b]\). Die Fläche zwischen diesen beiden Kurven ist dann die Differenz der Flächen unter den einzelnen Kurven.
Also berechnen wir die Teilflächen und dann die Differenz:
1. Fläche unter \(y_1 = f_1(x)\) von \(a\) bis \(b\):
\( A_1 = \int_{a}^{b} f_1(x) \, dx \)
2. Fläche unter \(y_2 = f_2(x)\) von \(a\) bis \(b\):
\( A_2 = \int_{a}^{b} f_2(x) \, dx \)
3. Fläche zwischen den Kurven:
\( A = \int_{a}^{b} (f_1(x) - f_2(x)) \, dx \)
Konkretes Beispiel:
Betrachten wir die folgenden beiden Kurven im positiven Bereich:
- \( f_1(x) = x^2 \)
- \( f_2(x) = x \)
auf dem Intervall \([0, 1]\).
Berechnung der Flächen:
1. Fläche unter \( f_1(x) = x^2 \) von \(0\) bis \(1\):
\( A_1 = \int_{0}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3} \)
2. Fläche unter \( f_2(x) = x \) von \(0\) bis \(1\):
\( A_2 = \int_{0}^{1} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2} \)
3. Fläche zwischen den Kurven:
\( A = \int_{0}^{1} (x^2 - x) \, dx = \int_{0}^{1} (x^2 - x) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} \)
\( = \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right) - (0 - 0) = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{1}{6} \)
Da die Fläche als Betrag betrachtet wird, nehmen wir den absoluten Wert:
\( A = \frac{1}{6} \)
Somit beträgt die Fläche zwischen den beiden Kurven \( f_1(x) =x^2 \) und \( f_2(x) = x \) im Bereich von 0 bis 1 genau \(\frac{1}{6}\).
