Satz von Leibniz (f g)^ (n)(x0) = Summe (n tief k) f^ (k)(x0) g^ (n-k)(x0). Bitte Beweis erklären.

Question

Könnt ihr mir erklären, was Schritt für Schritt hier passiert, weil ich kann es nicht ganz nachvollziehen.

$$ ( f g ) ^ { ( n ) } \left( x _ { 0 } \right) = \sum _ { k = 0 } ^ { n } \left( \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} \right) f ^ { ( k ) } \left( x _ { 0 } \right) g ^ { ( n - k ) } \left( x _ { 0 } \right) $$

$$ ( f g ) ^ { ( n + 1 ) } = \left( ( f g ) ^ { ( n ) } \right) ^ { \prime } = \left( \sum _ { k = 0 } ^ { n } \left( \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} \right) f ^ { ( k ) } g ^ { ( n - k ) } \right) ^ { \prime } \\ = \sum _ { k = 0 } ^ { n } \left( \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} \right) \left( f ^ { ( k + 1 ) } g ^ { ( n - k ) } + f ^ { ( k ) } g ^ { g ( n - k + 1 ) } \right) \\ = \sum _ { k = 0 } ^ { n } \left( \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} \right) \left( f ^ { ( k + 1 ) } g ^ { ( n + 1 - ( k + 1 ) ) } + f ^ { ( k ) } g ^ { g ( n + 1 - k ) } \right) \\ = \sum _ { k = 0 } ^ { n + 1 } \left( \left( \begin{array} { c } { n } \\ { k - 1 } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { c } { n } \\ { k } \end{array} \right) \right) f ^ { ( k ) } g ^ { ( n + 1 - k ) } \\ = \sum _ { k = 0 } ^ { n + 1 } \left( \begin{array} { c } { n + 1 } \\ { k } \end{array} \right) f ^ { ( k ) } g ^ { ( n + 1 - k ) } $$

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Produktregel von Leibniz?

Stichworte: leibniz,beweis,ableitung,produktregel

Sei I ⊆ R ein Intervall. Zeigen Sie, dass für f, g ∈ C^∞(I) und n ∈ N die Produktregelvon Leipniz

$$ ( f \cdot g ) ^ { ( n ) } ( x ) = \sum _ { k = 0 } ^ { n } \left( \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} \right) f ^ { ( k ) } ( x ) \cdot g ^ { ( n - k ) } ( x ) $$

gilt, wobei h^{0}(x) := h(x) für jede Funktion h gesetzt wird.

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Stichwort: vollständige Induktikion

Verwende im Induktiosschritt die Produktregel

Answer 1

Das ist nur der Induktionschritt: Übergang von n. Ableitung  --> n+1. Ableitung des Produkts (f*g)(x0) .

Beachte, dass da jeweils das Argument (x0) vergessen gegangen ist.

Ausserdem wird in den Summanden die Produktregel  der Abeitung verwendet.

Binomialkoeffizienten kennst du?

Comments

Ich versteh alles bis auf den Teil wo g^{n-1}-(k+1) steht, weil ich nicht weiß, wie man darauf kommt

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Induktionsschritt von Zeile 2 zu Zeile 3 ?

Das ist so ähnlich wie bei der quadratischen Ergänzung. Man überlegt sich, was man brauchen kann und subtrahiert 1 zuerst, gleich daneben wird die 1 wieder addiert.

Achtung: lasse nach ^ jeweils einen Abstand und setze eine zusätzliche Klammer. Die automatische Caret-Umwandlung entfernt automatisch auch Klammern. Das musst du bei Ableitungen verhindern.

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Nee, ich meinte von 3 nach 4

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Das ist eine Eigenschaft der Binomialkoeffizienten:

https://de.wikipedia.org/wiki/Pascalsches_Dreieck

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Es geht wohl um die Indexverschiebung gerade oberhalb von dem, was mathef nun angefügt hat.

@Sonnenblume: Lasse einfach das Summenzeichen weg und schreibe alle Summanden mit ein paar Pünktchen hin. Dann kannst du neu gruppieren um von Zeile 3 zu Zeile 4 zu gelangen. (Gruppieren ähnlich wie bei einer Teleskopsumme nur fällt nichts weg)