Beweis Beweis Fläche unter Graphen der x^2 Funktion

Question

Moin an alle,
ich habe eine recht schwere Frage (glaube ich).

Es gibt eine Funktion f(x)=x^2.
Auf dieser Funktion sollen zwei Punkte, nennen wir sie P und Q, völlig frei wählbar sein.
Nun ziehen wir eine Gerade g durch diese beiden Punkte P und Q .
Im nächsten Schritt suchen wir uns eine parallele Tangente t an der Funktion f(x)=x^2 zu der Gerade g.
Wir haben nun zwei Flächen:
(1) A1 ist die Fläche zwischen der Gerade g und der Funktion x2.
(2) A2 ist die Fläche zwischen den Punkten P,Q und T(der Punkt, wo die Tangente t die Funktion f(x)=x^2 berührt). Die Fläche dieses Dreiecks ist A2.

Das Verhältnis A1/A2 muss nun IMMER, egal wie man P und Q wählt, 4/3 sein.

Ich bin wirklich verzweifelt und bitte um Lösungen dazu.

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Answer 1

Die Fläche \(A_1\) zwischen der Geraden und der Kurve berechne ich als Differenz aus Trapez und Fläche unter der Kurve. Zur Vereinfachung der Schreibweise nenne ich die x-Koordinaten der beiden Punkte a und b.

Trapezfläche: \(A_\text{Trapez1}=\dfrac{1}{2}\cdot(a^2+b^2)\cdot(b-a)\)

Integral: \(I=\dfrac{1}{3}(b^3-a^3)\)

$$ A_1=A_\text{Trapez1}-I= \dfrac{1}{2}\cdot(a^2+b^2)\cdot(b-a) - \dfrac{1}{3}(b^3-a^3) $$

Als nächstes müssen wir den Punkt T bestimmen.

Es gilt \(f'(x_T)=\dfrac{b^2-a^2}{b-a}=b+a=2x_T \Rightarrow x_T=\dfrac{a+b}{2}\)

Die Dreiecksfläche finden wir nun als Differenz dreier Trapezflächen.

\(A_\text{Dreieck}=A_\text{Trapez1}-(A_\text{Trapez2}+A_\text{Trapez3})\)

\(A_\text{Trapez1}=\dfrac{1}{2}\cdot(a^2+b^2)\cdot(b-a)\)

\(A_\text{Trapez2}=\dfrac{1}{2}\cdot(a^2+(\frac{a+b}{2})^2)\cdot(\frac{a+b}{2}-a)=\dfrac{1}{2}\cdot(a^2+(\frac{a+b}{2})^2)\cdot(\frac{b-a}{2})\)

\(A_\text{Trapez3}=\dfrac{1}{2}\cdot((\frac{a+b}{2})^2+b^2)\cdot(b-\frac{a+b}{2})=\dfrac{1}{2}\cdot((\frac{a+b}{2})^2+b^2)\cdot(\frac{b-a}{2})\)

\(A_\text{Trapez2}+A_\text{Trapez3}=\dfrac{1}{2}\cdot(a^2+ 2\cdot(\frac{a+b}{2})^2+b^2)\cdot(\frac{b-a}{2})\)

Comments

Das hilft mir erstmal weiter, vielen Dank. Jedoch weiß ich jetzt nicht, wie ich auf die zu beweisenden 3/4 komme.

Mit freundlichen Grüßen