Die Fläche \(A_1\) zwischen der Geraden und der Kurve berechne ich als Differenz aus Trapez und Fläche unter der Kurve. Zur Vereinfachung der Schreibweise nenne ich die x-Koordinaten der beiden Punkte a und b.
Trapezfläche: \(A_\text{Trapez1}=\dfrac{1}{2}\cdot(a^2+b^2)\cdot(b-a)\)
Integral: \(I=\dfrac{1}{3}(b^3-a^3)\)
$$ A_1=A_\text{Trapez1}-I= \dfrac{1}{2}\cdot(a^2+b^2)\cdot(b-a) - \dfrac{1}{3}(b^3-a^3) $$
Als nächstes müssen wir den Punkt T bestimmen.
Es gilt \(f'(x_T)=\dfrac{b^2-a^2}{b-a}=b+a=2x_T \Rightarrow x_T=\dfrac{a+b}{2}\)
Die Dreiecksfläche finden wir nun als Differenz dreier Trapezflächen.
\(A_\text{Dreieck}=A_\text{Trapez1}-(A_\text{Trapez2}+A_\text{Trapez3})\)
\(A_\text{Trapez1}=\dfrac{1}{2}\cdot(a^2+b^2)\cdot(b-a)\)
\(A_\text{Trapez2}=\dfrac{1}{2}\cdot(a^2+(\frac{a+b}{2})^2)\cdot(\frac{a+b}{2}-a)=\dfrac{1}{2}\cdot(a^2+(\frac{a+b}{2})^2)\cdot(\frac{b-a}{2})\)
\(A_\text{Trapez3}=\dfrac{1}{2}\cdot((\frac{a+b}{2})^2+b^2)\cdot(b-\frac{a+b}{2})=\dfrac{1}{2}\cdot((\frac{a+b}{2})^2+b^2)\cdot(\frac{b-a}{2})\)
\(A_\text{Trapez2}+A_\text{Trapez3}=\dfrac{1}{2}\cdot(a^2+ 2\cdot(\frac{a+b}{2})^2+b^2)\cdot(\frac{b-a}{2})\)
