Finden Sie ein x₀∈ ℝ2, sodass sich die Formel ergibt

Question

Aufgabe:

Sei f: ℝ² → ℝ gegeben durch f(x,y) = x²y. Finden Sie ein x₀∈ ℝ², sodass

\( f\left(\begin{array}{l}{4} \\ {1}\end{array}\right)-f\left(\begin{array}{l}{2} \\ {2}\end{array}\right)=\left\langle\vec{\nabla} f_{\bar{x}_{0}},\left(\begin{array}{l}{4} \\ {1}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{l}{2} \\ {2}\end{array}\right)\right\rangle \)

Answer 1

Aloha :)

Erstmal holen wir uns alle Bausteine, die wir benötigen:$$f(4,1)=4^2\cdot1=16$$$$f(2,2)=2^2\cdot2=8$$$$\vec\nabla f=\binom{2xy}{x^2}$$$$\binom{4}{1}-\binom{2}{2}=\binom{2}{-1}$$Jetzt können wir die Gleichung wie folgt darstellen:

$$f(4,1)-f(2,2)=\left<\vec\nabla f\;\left|\;\binom{4}{1}-\binom{2}{2}\right.\right>$$$$16-8=\binom{2xy}{x^2}\cdot\binom{2}{-1}$$$$8=4xy-x^2$$$$y=\frac{8+x^2}{4x}$$Es gibt also unendlich viele Lösungen:$$\vec x_0=\binom{x}{\frac{8+x^2}{4x}}\quad;\quad x\ne0$$

Comments

Ahh okii danke dir vielmals :) !

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Eine Frage hätte ich da, warum wurde nach y aufgelöst ?

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Es gibt unendlich viele Lösungen für den Null-Gradienten. Daher musste ich eine Koordinate durch die andere ausdrücken. Die Umstellung nach \(y\) ergibt eine einfachere Formel als die Umstellung nach \(x\). Deswegen habe ich \(x\) als frei wählbar betrachtet und \(y\) in Abhängigkeit von \(x\) berechnet.

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Ah oki Dankeschön !

Answer 2

Hallo

 1. rechne die gegebenen Funktionen aus dann das Skalarprodukt  mit dem grad(f(x0,y0)) damit hast du ne Gleichung voraus du ein x0,y0 bestimmst.

Gruß lul