Vektorräume: Basis wechseln: Wie kann ich hier anfangen (Basiswechsel)?

Question

Aufgabe:

Seien \( V \) und \( W \) Vektorräume über \( \mathbb{R} \) mit Basen \( B=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right) \) bzw. \( C=\left(w_{1}, w_{2}, w_{3}\right) \) Sei \( f: V \rightarrow W \) linear, gegeben durch \( c[f]_{B}=\left(\begin{array}{cccc}{1} & {3} & {0} & {1} \\ {0} & {2} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0}\end{array}\right) \)
Geben Sie die Koordinaten von \( f\left(2 v_{1}+v_{2}-3 v_{3}+2 v_{4}\right) \) bezüglich der Basis \( C \) an.

Wisst ihr vielleicht, wie ich hier anfangen kann?

Answer 1

Aloha :)

Die Abbildung \(_C[F]_B=\left(\begin{array}{c}1 & 3 & 0 & 1\\0 & 2 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)\) erwartet rechts als Eingangsgröße Komponenten bzgl. der Basis \(B\) und liefert als Ausgangsgröße Komponenten bzgl. der Basis \(C\). Sie passt also perfekt auf das Problem. Du brauchst nur eine Matrix-Multiplikation durchzuführen:

$$\left(\begin{array}{c}1 & 3 & 0 & 1\\0 & 2 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}2\\1\\-3\\2\end{array}\right)_B=\left(\begin{array}{c}7\\-1\\0\end{array}\right)_C$$

Answer 2

Hallo

 die Bilder der Basisvektoren b stehen in den Spalten.

da das Bild in Basis C gegeben ist bedeutet etwa  v2 wird abgebildet auf (3,2,0)^T=3w1+2w2

 usw. da sie Abb linear ist hast du ja  f(2v1+v2+...=2f(v1)+f(v2)+...

Gruß lul