Lineare Gleichungssysteme, Ungleichung für reelle Zahlen

Question

Beweisen Sie diese Ungleichung für positive reelle Zahlen:

\(\forall a, b>0: \quad \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leq \sqrt{a b}\)

Comments

Die Klammern am Anfang und Ende von Latex-Code müssen

rund und nicht eckig sein . Habe ich korrigiert.

Answer 1

\( \quad \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leq \sqrt{a b}\)

Da nichts negativ ist kann man quadrieren:

\(<=> \quad \frac{4}{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^2} \leq ab\)

\(<=> \quad \frac{4}{ab} \leq (\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^2\)

\(<=> \quad \frac{4}{ab} \leq \frac{1}{a^2}+\frac{2}{ab}+\frac{1}{b^2}\)

\(<=> 0 \leq \frac{1}{a^2}-\frac{2}{ab}+\frac{1}{b^2}\)

\(<=> 0\leq \quad {(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})^2}\)

Und etwas Quadriertes ist immer größer oder gleich 0.  q.e.d.