Aufgabe:
$$ \begin{array}{l}{\text { Der Vektorraum } \mathbb{R}^{n \times n} \text { der }(n \times n) \text { - Matrizen sei versehen mit der euklidischen Norm, }} \\ {\text { das heißt zu } A=\left(a_{i j}\right)_{i, j \in\{1, \ldots, n\}} \text { ist }\|A\|=\sqrt{\sum_{i, j=1}^{n}\left|a_{i j}\right|^{2} . \text { Zeige, diss die folgenden }}} \\ {\text { Abbildungen stetig und partiell differenzierbar sind, und berechne jeweils die Jacobi- }} \\ {\text { Matrix. }} \\ {\text { (a) Die Determinante: } \mathbb{R}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{R}, A \mapsto \operatorname{det}(A)} \\ {\text { (b) Die Transposition: } \mathbb{R}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{R}^{n \times n}, A \mapsto A^{T}}\end{array} $$
Problem/Ansatz:
Für die a) habe ich die Leibniz-Formel:
$$ \operatorname{det} A=\sum_{\sigma \in S_{n}}\left(\operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^{n} a_{i, \sigma(i)}\right) $$
Die Stetigkeit und Differenzierbarkeit folg direkt aus der Leibnizformel folgt.
Meine Frage dazu:
a_{i,j} ist ein reelle Zahl. Und um zu zeigend, dass diese stetig bzw. diffbar ist muss ich doch das charakteristische Polynom aufstellen, damit ich wenigstens eine Abhängigkeit von einer Variablen λ habe. Sonst wäre die determinante ja bloß eine reelle Zahl, die ja sowieso stetig und diffbar ist.
Was ich nicht ganz verstehe... In der Aufgabenstellung steht, dass man die partielle Diffbarkeit zeigen soll. Partiell diffbar bedeutet ja, die Funktion nach mehreren Variablem abgeleitet werden kann, aber hier habe ich ja nur eine dann. Würde es nicht reichen nur nach Differenzierbarkeit zu fragen?
Zweite Frage. Die Jacobimatrix würde dann so aussehen oder:
$$\begin{vmatrix} \frac{ddet(A-1\lambda)}{d\lambda})\end{vmatrix} $$
oder vertausche ich da was.
Bei der b) habe ich noch mehr Probleme.
Kann mir jemand bei der Stetigkeit und Differenzierbarekeit auf die Sprünge helfen?
Und
Wie bestimme ich die Jacobimatrix einer Matrix?
Bursol
