Ist B eine Basis des IR^(2x2)?

Question

Aufgabe:

Prüfen Sie ob die Menge $$\begin{aligned} B:=\left\{\boldsymbol{v}_{1}\right.&=\left(\begin{array}{cc}{1} & {0} \\ {0} & {1}\end{array}\right), \boldsymbol{v}_{2}=\left(\begin{array}{cc}{1} & {1} \\ {0} & {0}\end{array}\right) \\ \boldsymbol{v}_{3} &\left.=\left(\begin{array}{cc}{0} & {1} \\ {-1} & {0}\end{array}\right), \boldsymbol{v}_{4}=\left(\begin{array}{cc}{0} & {0} \\ {1} & {0}\end{array}\right)\right\} \subseteq \mathbb{R}^{2 \times 2} \end{aligned}$$ eine Basis des \(\mathbb{R}^{2x2}\) bildet.

Problem/Ansatz:

Ich muss ja schauen ob nur die Triviale Lösung für den Nullvektor in diesem Raum möglich ist. 

Was ist nun anderst? 
Waren früher desöfteren Vektoren in einer gegeben Menge (Erz. System) gegeben, 
konnte ich die in eine Matrix packen und Gauss anwenden und so eliminierte ich die linear abhängigen aus der Menge und 
was übrig blieb sind die linear unabhängigen, also Basis. 

Frage:
Wie finde ich heraus ob die Menge \(B\) linear unabhängig ist (Basis!) wenn statt Vektoren Matrizen als Elemente dieser Menge gegeben sind?

Answer 1

Für die lineare Unabhängigkeit machst du - wie immer - den Ansatz

a*v1 + b*v2 + c*v3 + d*v4 = 0    hier also

$$a*\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}+b*\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+c*\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}+d*\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Wenn di die linke Seite zu einer Matrix zusammenrechnest hast du

$$\begin{pmatrix} a+b & b+c \\ -c+d & a \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Damit erhältst du 4 Gleichungen

a+b=0  und b+c=0   und -c+d=0  und   a=0

und zeigst, dass die nur die triviale Lösung haben.

Comments

Also dann seh ich ja sofort, dass 

a = 0

Ich habe dann noch 

a + b = 0 

weil a = 0 folgt dann b = 0 

dann ist noch b+c = 0 
weil aber b = 0 ist,
folgt wiederum 

c = 0

dann habe ich noch -c + d = 0 
weil c = 0 ist

folgt d = 0 

a=b=c=d = 0 


Ich danke dir !