Seien V und W zwei endlichdimensionale Vektorräume...

Question

kann mir hier mal wieder jemand helfen?

Es seien V und W zwei endlichdimensionale Vektorräume. Zeigen Sie: Ist  f:V→W eine lineare Abbildung und gilt dimV=dimW, so ist f injektiv genau dann wenn f surjektiv ist.

Vielen Dank schon mal!

Answer 1

Argumentiere über die Dimensionsformel

dim V = n = dim ker f + dim Bild f

Jetzt ist f injektiv f gdw dim ker f = 0 und f ist surjektiv gdw. dim Bild f = dim W = dim V

Also f injektiv <=> dim ker f = 0 <=> dim Bild f = dim V <=> f surjektiv