Question

Seien V, W K-Vektorräume und B ⊆ V eine Basis von V .
a) Sei zu jedem v ∈ B ein Vektor w ∈ W gewählt. Dann gibt es genau eine K-lineare Abbildung f:V →W mit f(v)=w für alle v∈B.
b) Sei V = R², W = R³ und S = {(0,1),(3,2)}. Weiter sei f die Abbildung auf a) zur Wahl von w_(0,1) = (3, 1, −1) und w_(3,2) = (1, 0, −1). Bestimmen Sie f((3, 4)).

c) Welche Bedingungen müssen die gewählten w_v aus a) erfüllen damit f injektiv
ist? Welche damit f surjektiv ist?

Answer 1

a) stimmt !

b) Du hast also f(0,1) = (3, 1, −1)   und   f(3,2)=  (1, 0, −1).

Mit der Basis S kannst du (3, 4) darstellen:

           (3, 4) = 2*(0,1) + 1 *(3,2).

Wegen der Linearität von f folgt:

          f(3, 4) = 2*f(0,1) + 1 *f(3,2) =  2*(3, 1, −1) +1* (1, 0, −1)

                                                   = (7,2,-3).

c)  f injektiv, wenn sie lin. unabh. sind

    f surjektiv, wenn sie W erzeugen .