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Aufgabe:

(a) Die Matrix A ∈ K^(n×n) habe die Eigenschaft a von ij= 0 für 1 ≤ i ≤ j ≤ n. Zeigen Sie:
A^n= 0.

(b) Berechnen Sie mithilfe von (a) den Ausdruck B^20 für die reelle Matrix
B = ( 1    0    0)

       (2     1    0)

       (4     2    1)

Hinweis: Verwenden Sie (ohne Beweis) den binomischen Lehrsatz f¨r Matrizen:

(A + B)n=∑k=0(n über k) A^(n-k)*B^(k)         A, B ∈ R^(n×n)


Problem/Ansatz:

Ich versteh nicht ganz wie man A^n= 0. zeigen soll und wie man mithilfe davon den Ausruck für die b) ausrechnet

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1 Antwort

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a) erinnert mich an eine Klausur vor 1 Mio Jahren. Hab schnell nachgeguckt, was nilpotent heißt und dann eine Induktion gemacht; hat damals funktioniert.

b) Zerlege A in die Einheitsmatrix + eine nilpotente. E1=E2=E3=E4=E5...=E. Die nilpotente mit n=3 verschwindet ab hoch 3. N3=N4=N5=...=0.

B20 = \( \begin{pmatrix} 1 &   &  \\ 40 & 1&  \\ 840 & 40&1  \end{pmatrix} \)

zu a):

Def: Sei A eine quadrat. Matrix (n x n). Die "k-te Diagonale" umfasse die Elemente ak,1, ak+1,2, ..., an,n-k+1, 1≤k≤n.  Wir sagen, dass A eine "Lk-Gestalt" hat, wenn die k-te Diagonale und alle Elemente darüber 0 sind. Matrizen  mit Lk-Gestalt sind also besondere linke (untere) Dreiecksmatrizen. Die 1-te Diagonale ist die Hauptdiagonale, die 2-te Diagonale ist die Subdiagonale usw.

Satz: Sei L eine Matrix mit L1-Gestalt, dann ist Lk eine Matrix mit Lk-Gestalt, 1≤k≤n

Bem: A aus Aufg. (a) hat L1-Gestalt. Nach Satz hat An Ln-Gestalt, also gilt: An=0=An+1=An+2=...

Eine Matrix, die die Nullmatrix als Potenz hat, nennt man nilpotent.

Bew: k=1: L1=L hat L1-Gestalt. Stimmt!

Schritt k → k+1, 1≤k<k+1≤n

Lk+1 = Lk * L, Lk hat Lk-Gestalt.

Betrachte ein Matrixelement a''ij von Lk * L in der (k+1)-ten Diagonale und darüber:

Da Lk Lk-Gestalt hat, stehen in der Matrix Lk in der k-ten Zeile und darüber nur Nullen.

Fall 1: Wenn i≤k, dann a''ij= \( \sum\limits_{m=1}^{n}{a'_{im}*a_{mj}} \)  = 0

Fall 2: Wenn i>k, setze i=k+p mit p=1,2,...,n-k

Dann sieht die (k+p)-te Zeile von Lk so aus:

(ak+p,1,ak+p,2,...,ak+p,p,0,...,0). Hinten stehen n-p Nullen.

Da a''ij auf oder oberhalb der (k+1)-ten Diagonale bleiben soll, setzen wir j≥p.

Die j-te Spalte von L sieht dann so aus:

\( \begin{pmatrix} 0\\...\\0\\*\\...\\* \end{pmatrix} \) Vorne stehen mindestens p Nullen.

Da n-p  + p  =n ist das Produkt a''ij= \( \sum\limits_{m=1}^{n}{a'_{im}*a_{mj}} \)  = 0

Also hat Lk+1  Lk+1-Gestalt.

Ende des Beweises


Die Matrizen sollen das ganze nur nochmal illustrieren:

\( \begin{pmatrix} 0 &  &  &  &  & &  && \\ 0 & 0 &  & &  & &  & & \\  & 0 & 0 &  &  & 0&  && \\ 0 &  & 0 & 0 &  & & & & \\ a'_{k+1,1} & 0 &  & 0 & 0& &  && \\ a'_{k+2,1} & a'_{k+2,2} &0 &  & 0 & 0&  && \\ a'_{k+3,1} & a'_{k+3,2} & a'_{k+3,3} & 0 &  & 0& 0 && \\  &  &  &  &  & & 0 &0& \\a'_{n,1} &  &  &  &  & 0&  &0& 0\end{pmatrix} \)


* \( \begin{pmatrix} 0 &  &  &  &  & &  && \\ a_{2,1} & 0 &  & &  & &  & & \\  & a_{3,2} & 0 &  &  & 0&  && \\ a_{k,1} &  & & 0 &  & & & & \\ a_{k+1,1} & a_{k+1,2} &  & a_{k+1,k} & 0& &  && \\ a_{k+2,1} & a_{k+2,2} &a_{k+2,3} &  & a_{k+2,k+1} & 0&  && \\ a_{k+3,1} & a_{k+3,2} & a_{k+3,3} & a_{k+3,4} &  & a_{k+3,k+2}& 0 && \\  &  &  &  & & &  &0& \\a_{n,1} &  & &  &  & &  & a_{n,n-1}& 0\end{pmatrix} \)


=  \( \begin{pmatrix} 0 &  &  &  &  & &  && \\ 0 & 0 &  & &  & &  & & \\  & 0 & 0 &  &  & 0&  && \\ 0 &  & 0 & 0 &  & & & & \\ 0 & 0 &  & 0 & 0& &  && \\a''_{k+2,1} & 0 &0 &  & 0 & 0&  && \\ a''_{k+3,1} & a''_{k+3,2} & 0 & 0 &  & 0& 0 && \\  &  &  & 0 & 0 & & 0 &0& \\a''_{n,1} &  &  &  &0 & 0&  &0& 0\end{pmatrix} \)


Also hat Lk+1 Lk+1-Gestalt.


(b): B= \( \begin{pmatrix} 1 &  &  \\ 2 & 1&  \\ 4 & 2&1  \end{pmatrix} \) =E+N = \( \begin{pmatrix} 1 &  &  \\  & 1&  \\  & &1  \end{pmatrix} \) + \( \begin{pmatrix}  &  &  \\ 2 & &  \\ 4 & 2&  \end{pmatrix} \)

B20 = (E+N)20 = E20 + 20 E19N1 + 190 E18N2 + 1140 E17N3 + ....               N3=N4=N5....=0

= E20 + 20 E19N1 + 190 E18N2 = E + 20 N+ 190 N2

=\( \begin{pmatrix} 1 &  &  \\  & 1&  \\  & &1  \end{pmatrix} \) + 20 \( \begin{pmatrix}  &  &  \\ 2 & &  \\ 4 & 2&  \end{pmatrix} \) + 190 \( \begin{pmatrix}  &  &  \\  & &  \\ 4 & &  \end{pmatrix} \)  = \( \begin{pmatrix} 1 &  &  \\ 40 & 1&  \\ 840 & 40&1  \end{pmatrix} \)

Avatar von 4,3 k

Reicht das als Erklärung?

Leider hab ich nicht ganz verstanden wie man die a mit der Induktion lösen soll

Hast du den Begriff nilpotent inzwischen in deinen Unterlagen oder im Netz gefunden.

Alles genauer ausgeführt, s.o.!

Endfassung abgeliefert!

Vielen Dank <3

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