a) erinnert mich an eine Klausur vor 1 Mio Jahren. Hab schnell nachgeguckt, was nilpotent heißt und dann eine Induktion gemacht; hat damals funktioniert.
b) Zerlege A in die Einheitsmatrix + eine nilpotente. E1=E2=E3=E4=E5...=E. Die nilpotente mit n=3 verschwindet ab hoch 3. N3=N4=N5=...=0.
B20 = \( \begin{pmatrix} 1 & & \\ 40 & 1& \\ 840 & 40&1 \end{pmatrix} \)
zu a):
Def: Sei A eine quadrat. Matrix (n x n). Die "k-te Diagonale" umfasse die Elemente ak,1, ak+1,2, ..., an,n-k+1, 1≤k≤n. Wir sagen, dass A eine "Lk-Gestalt" hat, wenn die k-te Diagonale und alle Elemente darüber 0 sind. Matrizen mit Lk-Gestalt sind also besondere linke (untere) Dreiecksmatrizen. Die 1-te Diagonale ist die Hauptdiagonale, die 2-te Diagonale ist die Subdiagonale usw.
Satz: Sei L eine Matrix mit L1-Gestalt, dann ist Lk eine Matrix mit Lk-Gestalt, 1≤k≤n
Bem: A aus Aufg. (a) hat L1-Gestalt. Nach Satz hat An Ln-Gestalt, also gilt: An=0=An+1=An+2=...
Eine Matrix, die die Nullmatrix als Potenz hat, nennt man nilpotent.
Bew: k=1: L1=L hat L1-Gestalt. Stimmt!
Schritt k → k+1, 1≤k<k+1≤n
Lk+1 = Lk * L, Lk hat Lk-Gestalt.
Betrachte ein Matrixelement a''ij von Lk * L in der (k+1)-ten Diagonale und darüber:
Da Lk Lk-Gestalt hat, stehen in der Matrix Lk in der k-ten Zeile und darüber nur Nullen.
Fall 1: Wenn i≤k, dann a''ij= \( \sum\limits_{m=1}^{n}{a'_{im}*a_{mj}} \) = 0
Fall 2: Wenn i>k, setze i=k+p mit p=1,2,...,n-k
Dann sieht die (k+p)-te Zeile von Lk so aus:
(ak+p,1,ak+p,2,...,ak+p,p,0,...,0). Hinten stehen n-p Nullen.
Da a''ij auf oder oberhalb der (k+1)-ten Diagonale bleiben soll, setzen wir j≥p.
Die j-te Spalte von L sieht dann so aus:
\( \begin{pmatrix} 0\\...\\0\\*\\...\\* \end{pmatrix} \) Vorne stehen mindestens p Nullen.
Da n-p + p =n ist das Produkt a''ij= \( \sum\limits_{m=1}^{n}{a'_{im}*a_{mj}} \) = 0
Also hat Lk+1 Lk+1-Gestalt.
Ende des Beweises
Die Matrizen sollen das ganze nur nochmal illustrieren:
\( \begin{pmatrix} 0 & & & & & & && \\ 0 & 0 & & & & & & & \\ & 0 & 0 & & & 0& && \\ 0 & & 0 & 0 & & & & & \\ a'_{k+1,1} & 0 & & 0 & 0& & && \\ a'_{k+2,1} & a'_{k+2,2} &0 & & 0 & 0& && \\ a'_{k+3,1} & a'_{k+3,2} & a'_{k+3,3} & 0 & & 0& 0 && \\ & & & & & & 0 &0& \\a'_{n,1} & & & & & 0& &0& 0\end{pmatrix} \)
* \( \begin{pmatrix} 0 & & & & & & && \\ a_{2,1} & 0 & & & & & & & \\ & a_{3,2} & 0 & & & 0& && \\ a_{k,1} & & & 0 & & & & & \\ a_{k+1,1} & a_{k+1,2} & & a_{k+1,k} & 0& & && \\ a_{k+2,1} & a_{k+2,2} &a_{k+2,3} & & a_{k+2,k+1} & 0& && \\ a_{k+3,1} & a_{k+3,2} & a_{k+3,3} & a_{k+3,4} & & a_{k+3,k+2}& 0 && \\ & & & & & & &0& \\a_{n,1} & & & & & & & a_{n,n-1}& 0\end{pmatrix} \)
= \( \begin{pmatrix} 0 & & & & & & && \\ 0 & 0 & & & & & & & \\ & 0 & 0 & & & 0& && \\ 0 & & 0 & 0 & & & & & \\ 0 & 0 & & 0 & 0& & && \\a''_{k+2,1} & 0 &0 & & 0 & 0& && \\ a''_{k+3,1} & a''_{k+3,2} & 0 & 0 & & 0& 0 && \\ & & & 0 & 0 & & 0 &0& \\a''_{n,1} & & & &0 & 0& &0& 0\end{pmatrix} \)
Also hat Lk+1 Lk+1-Gestalt.
(b): B= \( \begin{pmatrix} 1 & & \\ 2 & 1& \\ 4 & 2&1 \end{pmatrix} \) =E+N = \( \begin{pmatrix} 1 & & \\ & 1& \\ & &1 \end{pmatrix} \) + \( \begin{pmatrix} & & \\ 2 & & \\ 4 & 2& \end{pmatrix} \)
B20 = (E+N)20 = E20 + 20 E19N1 + 190 E18N2 + 1140 E17N3 + .... N3=N4=N5....=0
= E20 + 20 E19N1 + 190 E18N2 = E + 20 N+ 190 N2
=\( \begin{pmatrix} 1 & & \\ & 1& \\ & &1 \end{pmatrix} \) + 20 \( \begin{pmatrix} & & \\ 2 & & \\ 4 & 2& \end{pmatrix} \) + 190 \( \begin{pmatrix} & & \\ & & \\ 4 & & \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 1 & & \\ 40 & 1& \\ 840 & 40&1 \end{pmatrix} \)
