Zeigen Sie, dass √ für alle Primzahlen irrational ist.

Question

Zeigen Sie, dass √p für alle Primzahlen irrational ist.

Answer 1

Schau dir den bekannten und tausendfach publizierten Beweis für die Irrationalität von √2 an und übertrage das Prinzip auf beliebige Primzahlen.

Answer 2

Indirekter Beweis:

Nimm an, für eine Primzahl p existierten natürliche Zahlen r und s, sodass

√p=\( \frac{r}{s} \), wobei \( \frac{r}{s} \) vollsiändig gekürzt sei. Dann gilt (*) p=\( \frac{r^2}{s^2} \) und daher r²=p·s².

Dann ist r durch p teilbar, also gibt es ein n∈ℕ, sodass r=n·p. Dies in (*) eingesetzt:

p=\( \frac{n^2p^2}{s^2} \) ud vereinfacht: s²=n²·p.

Dann ist auch s durch p teillbar.

Dies widerspricht der Forderung, dass \( \frac{r}{s} \) vollständig gekürzt sein soll.