e-Funktionen. Ausbreitung einer Virusinfektion mit f_k (x) = x^{2} * e^ (-x/k)

Question

Aufgabe:

Die Ausbreitung einer Virusinfektion (z. B. Schweinegrippe) kann durch

f_k (x) = x^2 * e^ (-x/k)
x ist größer gleich 0 , k ist größer als 0

modelliert werden, mit f_k(x) Anzahl der Infizierten in 1000, x Zeit in Monaten

d) Sei nun k=2. In welchem Zeitraum sind mindestens 1000 Infizierte vorhanden (algebraisch)

e) Untersuchen Sie, ob a und b so gewählt werden können, dass F(x) = e^ -x/2 (-2x^2 -ax-b) eine Stammfunktion von f_2 ist

f) Bestimmen sie die Ortskurve der Hochpunkte

Problem/Ansatz:

ich verstehe diese Aufgaben gar nicht. Kann sie mir jemand erklären. Ich mache diese als Übung für die Klausur aber ich komme gar nicht seitet

Comments

Hallo, deine Frage (ähnlich) und mit andern Zahlen vielleicht, gibt es schon öfters auf der mathelounge. Lies mal die Antworten zu den "ähnlichen Fragen" ganz unten. Bsp. https://www.mathelounge.de/41484/exponentielles-wachstum-ausbreitung-einer-viruserkrankung

Bitte x nicht als Multiplikationszeichen verwenden.

Du meinst wahrscheinlich:

f_k (x) = x^2 * e^ (-x/k)         [habe das oben so korrigiert. 

Sonst wäre es ja

f_k (x) = x^3  e^ (-x/k)

---

Okay danke ^^, ich wusste wirklich nicht wie ich das mal darstellen kann

---

Du kannst https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2+*+e%5E+%28-x%2Fk%29 verwenden, wenn du wissen willst, was dieser Rechner automatisch so alles ausrechnet zu deiner Funktionenschar.

Answer 1

Sei nun k=2.

Einsetzen.

In welchem Zeitraum sind mindestens 1000 Infizierte vorhanden

Dann ist

        f₂(x) = 1000.

Außerdem ist ja auch

        f₂(x) = x² x e^ -x/2

gleichsetzen liefert die Gleichung

        1000 = x² x e^ -x/2.

Löse diese Gleichung.

Comments

Und die anderen Aufgaben?

---

Sorry, hab es sehr eilig und bin unter Druck. Danke für die Aufgabe ich hab das bis dahin auch verstanden, aber die restlichen Aufgaben verstehe ich auch gar nicht

Answer 2

f.)
f(x) = x^2 * e ^(-x/k)
1.Ableitung
f ´( x ) = 2x * e ^(-x/k)  + x^2 * e ^(-x/k) * (-1/k)
f ´( x ) = e ^(-x/k)  * ( 2x + x^2  * (-1/k) )
Stelle mit waagerechter Tangente
e ^(-x/k)  * ( 2x + x^2  * (-1/k) ) = 0
Satz vom Nullprodukt
e ^(-x/k)  stets > 0
( 2x + x^2  * (-1/k) ) = 0
( 2x - x^2 / k ) = 0
x * ( 2 - x/k) = 0
x = 0
2 - x/k = 0
x/k = 2
x = 2k
Einsetzen
f(x) = x^2 * e ^(-x/k)
f(2k) = (2k)^2 * e ^(-2k/k)
f(2k) = 4 * k^2 * e ^(-2)

Ortskurve
( x | y )
( 2k | 4 * k^2 * e ^(-2)  )
x = 2k
k = x/2
y = 4 * (x/2)^2 * e ^(-2)
ort = x^2 * e ^(-2)
ort = x^2/e^2

blau ortskurve
grün : k = 1
rot : k = 2