Antwort mit KI erzeugt
Um den Beweis korrekt zu führen, muss der Widerspruch detaillierter formuliert und nachgewiesen werden. Hier ist der vollständige Beweis mittels eines Widerspruchsbeweises:
Gegebene Aussage: Für jede natürliche Zahl \( t > 1 \) und jede natürliche Zahl \( n \) gilt: Wenn bei der Division \( n \) durch \( t \) der Rest 0 bleibt, dann ist \( n+1 \) kein Vielfaches von \( t \).
Widerspruch: Für jede natürliche Zahl \( t > 1 \) und jede natürliche Zahl \( n \) gilt: Wenn bei der Division \( n \) durch \( t \) der Rest 0 bleibt, dann ist \( n+1 \) ein Vielfaches von \( t \).
Beweis durch Widerspruch:
1.
Annahme der Gegenbehauptung:
Für jede natürliche Zahl \( t > 1 \) und jede natürliche Zahl \( n \) nehmen wir an:
\( \text{Wenn } n \mod t = 0, \text{ dann ist } n+1 \text{ ein Vielfaches von } t. \)
2.
Mathematische Formulierung der Annahme:
Da \( n \mod t = 0 \), bedeutet dies, dass \( n \) ein Vielfaches von \( t \) ist. Es existiert also eine natürliche Zahl \( k \), sodass:
\( n = kt \)
3.
Untersuchen von \( n+1 \):
Setzen wir \( n \) in \( n+1 \) ein, erhalten wir:
\( n + 1 = kt + 1 \)
4.
Überprüfung, ob \( n+1 \) ein Vielfaches von \( t \) ist:
Für \( n+1 \) ein Vielfaches von \( t \) zu sein, müsste es eine natürliche Zahl \( m \) geben, sodass:
\( n+1 = mt \)
Dabei setzen wir \( n = kt \):
\( kt + 1 = mt \)
5.
Umformen nach \( k \) und \( m \):
\( kt + 1 = mt \)
\( 1 = mt - kt \)
\( 1 = t(m - k) \)
6.
Widerspruch identifizieren:
Da \( t > 1 \) ist, ist \( t(m - k) \) mindestens \( t \). Weil die rechte Seite genau 1 ist, würde dies bedeuten, dass \( t = 1 \). Dies widerspricht der Annahme \( t > 1 \).
Schlussfolgerung:
Da die Annahme zu einem logischen Widerspruch geführt hat, muss die ursprüngliche Aussage richtig sein:
Wenn bei der Division \( n \) durch \( t \) der Rest 0 bleibt, dann ist \( n+1 \) kein Vielfaches von \( t \).
