Münz und Würfelwurf. Augenzahl bestimmt wie oft Münze geworfen.

Question

Aufgabe:

Der Würfel wird einmal geworfen. Die Augenzahl bestimmt wie oft danach die Münze geworfen wird.

Wenn bei der Münze mindestens einmal Kopf vorkommt, kann noch eine neue Runde gespielt werden.

Rechne die Anzahl an erwarteten Runden pro Spiel aus.

Problem/Ansatz:

Ich habe erstmal den Erwartungswert des Würfels ausgerechnet:

$$E(W)=(1+2+3+4+5+6) * \frac{1}{6}$$

Dann habe ich den Erwartungswert der Münze in Bezug auf mindestens einmal Zahl ausrechnet.

$$E(Z)= E(W) * \frac{1}{2}$$

Mit diesen Werten habe ich dann den Erwartungswert der Anzahl an Runden ausgerechnet:

$$E(R)= E(W) * E(Z) = \frac{49}{8}$$

Nun glaube ich dass ich etwas grundlegendes falsch verstanden hab oder falsch gemacht hat.

Kann mir jemand helfen und sagen ob das sind macht?

Answer 1

Dann habe ich den Erwartungswert der Münze in Bezug auf mindestens einmal Zahl ausrechnet.

Was soll "in Bezug auf mindestens einmal Zahl" heißen? Was dort steht ist einfach nur der Erwartungswert für die Anzahl der geworfenen Zahlen in einer Runde.

$$ W: \text{Ergebnis des Würfelwurfes}\\ N: \text{Es wird eine weitere Runde gespielt}\\ X: \text{Anzahl der gespielten Runden}\\ P(N|W=k)= 1-\frac{1}{2^k}\\ P(N) = \frac{1}{6}\cdot \sum_{k=1}^{6}P(N|W=k)=\frac{107}{128}\\ P(X=k) =P(N)^{k-1}\cdot (1-P(N)) $$

Letzteres ist eine geometrische Verteilung (\(k\in \mathbb{N}\) Versuche bis zum ersten Erfolg) mit \(p=1-P(N)=\frac{21}{128}\). Der Erwartungswert ist demnach \(E(X)=\frac{1}{p}=\frac{128}{21}\approx 6,10\)