Gegeben sei die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) mit \( a_{n}=\frac{1}{n^{2}}+\cdots+\frac{n}{n^{2}} . \) Überprüfen Sie die folgende Argumentation auf Stichhaltigkeit und das Ergebnis auf Korrektheit:
Induktives Anwenden des ersten Grenzwertsatzes ergibt
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^{2}}+\frac{2}{n^{2}}+\cdots+\frac{n}{n^{2}}\right)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}+\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{2}{n^{2}}+\cdots+\frac{n}{n^{2}}\right)=\cdots=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}+\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{2}{n^{2}}+\cdots+\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n^{2}}=0 \)
Insbesondere existieren die Grenzwerte der einzelnen Summandenfolgen \( \left(\frac{N}{n^{2}}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) für \( N=1,2, \ldots \) und somit ist \( \lim a_{n}=0 \)
