Binomialverteilung: n gesucht

Question

Aufgabe:

Die Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit dem Parameter p=0,25. Bestimmen Sie den zweiten Parameter n als möglichst kleine Zahl, sodass gilt:

a) P(X=0) < 0,05 (Lösung: 10,41?)

b) P(X < 1) < 0,1

c) P(X=n) < 0,01 (Lösung: 3,3?)

d) P(X < 2) < 0,025

Problem/Ansatz:

Ich habe bis jetzt Aufgabenteil a) und c) gelöst, komme bei b) und d) jedoch absolut nicht weiter.

Bei a) habe ich folgendes gerechnet:

P(X=0)= Nüber0 * 0,25^0 (1-0,25)^n-0

= 1 * 1 * 0,75^n

= 0,75^n

Dann hab ich den Logarithmus amgewendet (log(0,05)/log(0,75)) und kam auf 10,41. Beim Aufgabenteil b) weiß ich jedoch nicht wie ich vorgehen soll. Kann mir einer bitte den Ansatz erklären?

Comments

(1) Da n eine natürliche Zahl sein muss, muss aufgerundet werden.

(2) Zu b): X<1 ist gleichbedeutend mit X=0.

(3) d) musst du anders lösen, das geht nicht mehr mit der Methode von a).

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Kommt bei b) dann n<8 raus?

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Nein, bei b) kommt n=9 raus. Es ist 1-0,25=0.75 und

0.75*0.75*0.75*0.75*0.75*0.75*0.75*0.75 = 0.100112915

und

0.75*0.75*0.75*0.75*0.75*0.75*0.75*0.75*0.75 = 0.07508468628

(Das geht mit etwas Geschick zur Not auch schriftlich. Ich glaube aber nicht, dass das ohne GTR gemacht werden soll.)

Hier mit GTR:

binomCdf(8,0.25,0,0) = 0.100113
binomCdf(9,0.25,0,0) = 0.075085

Answer 1

Bei mir lauteten die Aufgaben etwas anders. Sollten vermutlich die gleichen sein.

a)
P(X = 0) ≤ 0.05
(1 - 0.25)^n ≤ 0.05
n ≥ LN(0.05)/LN(1 - 0.25) = 10.4
n ≥ 11

b)
P(X ≤ 1) ≤ 0.1
(1 - 0.25)^n + n·0.25·(1 - 0.25)^(n - 1) ≤ 0.1
Das kann leider nur numerisch gelöst werden.
n ≥ 15

c)
P(X = n) ≤ 0.01
0.25^n ≤ 0.01
n ≥ LN(0.01)/LN(0.25) = 3.3
n ≥ 4

d)
P(X ≤ 2) ≤ 0.025
(1 - 0.25)^n + n·0.25·(1 - 0.25)^(n - 1) + n·(n - 1)/2·0.25^2·(1 - 0.25)^(n - 2) ≤ 0.025
Das kann leider nur numerisch gelöst werden.
n ≥ 27

Comments

Wie kamst du bei b) und d) jetzt auf die Lösungen? Bei a) und c) hast du ja den Logarithmus verwendet

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Bei einer numerischen Lösung kann man z.B. eine Wertetabelle verwenden. Auch können einige Taschenrechner solche Gleichungen numerisch lösen.

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In meinem Buch steht, dass man keinen Taschenrechner benutzen soll. Kann man die Aufgabe nicht händisch lösen?

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Du rechnest Logarithmus im Kopf? Das ist sportlich.

Man könnte wenn ihr gemacht habt eventuell zuerst über die Normalverteilung nähern.

Dann bräuchtest du aber immerhin eine Wertetabelle der Standardnormalverteilung.