Beweisen Sie, dass die folgenden Vektoren in Abb(R, R) linear unabhängig sind

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie, dass die folgenden Vektoren in Abb(R, R) linear unabhängig sind:

(a) f1 = IdR : R → R, x→ x;   f2 : R → R, x→ exp(x);   f3 : R → R, x→ sin(x).

(b) g1 : R → R, x→ sin(x) − cos(x);  g2 : R → R, x→ −3 sin(x) + cos(x).

Answer 1

Hallo,

linear unabhängig, wenn eine Linearkombination nur 0 ergibt, wenn alle Koeffizienten 0 sind, also

a*x+b*exp(x) +c*sin(x)=0

, wobei das für alle x gelten muss.

Es muss daher auch für spezifische x pasen, z.B x=0, x=pi

x=0: gibt

a*0+b*1+c*0=0, also b=0

x=pi:

a*pi+c*0=0, also a=0

Damit auch c=0

b) geht ähnlich