Aufgabe:
Sei \( \operatorname{Abb}(M, K) \) der Vektorraum aller Abbildung von der Menge \( M \) in den Körper \( K \). Für jedes \( m \in M \) sei ein Vektor \( f_{m} \in \operatorname{Abb}(M, K) \) definiert durch
$$ \begin{aligned} f_{m}: M & \rightarrow K \\ m & \mapsto 1 \\ m^{\prime} & \mapsto 0 \quad\left(\text { für } m^{\prime} \in M-\{m\}\right) \end{aligned} $$
a) Zeigen Sie, dass die Familie \( \left\{f_{m} \mid m \in M\right\} \) linear unabhängig ist.
b) Zeigen Sie, dass die Familie \( \left\{f_{m} \mid m \in M\right\} \) genau dann eine \( \operatorname{Basis} \) von \( \operatorname{Abb}(M, K) \) bildet, wenn \( M \) endlich ist.
Problem/Ansatz:
Ich bräuchte bei dieser Aufgabe etwas Starthilfe. Ich weiß nicht z.B. nicht, wie die Menge \(\{f_m | m \in M \} \) aussieht, ich kann mir da nicht wirklich was drunter vorstellen.
Bei den Übungen, die ich bis jetzt zur linearen Unabhängigkeit gemacht habe, hatte ich immer so ne konkrete (v.a. endliche) Menge, wo ich das nachrechnen konnte. Hier kann ich wegen dem obrigen Problem nicht einmal einschätzen, ob die Menge \(\{f_m | m \in M \} \) überhaupt endlich ist.
Ich bedanke mich für jede Hilfe,
LG Jana
