Berechnen Sie den Rang der Telefonmatrix in Abhängigkeit von ∗ , # ∈ R.

Question

Berechnen Sie den Rang der Telefonmatrix

T =  \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7& 8 & 9 \\ * & 0 & \end{pmatrix} \) ∈ ℝ ^4×3

                        ↑

                       #

in Abhängigkeit von ∗ , # ∈ R.

Answer 1

Umformung auf Stufenform gibt

7      8      9
0      1      2
0      0      0
*      0       #

Wenn   die Zeile

*      0       #

eine Linearkombination der ersten beiden

Zeilen ist, ist der Rang=2.

Dann gibt es also a und b mit

a*(7   ,   8    ,  9) + b*( 0 , 1 , 2 ) =  ( * , 0  , #  )

<=>  7a=*  und  8a + b = 0   und  9a + 2b = #

<=>  7a=*  und  b = -8a   und  9a -16a  = #

<=>  7a=*  und  b = -8a   und  -7a  = #

==>    * = -#

Für diesen Fall hat man Rang = 2.

in allen anderen Fällen Rang = 3 .