Gleichungssystem lösen mithilfe des Gaußverfahren

Question

Bestimmen Sie mittels Gauß-Elimination und Rickwärtseinsetzen die Lösungsmenge, bei c) in Abhängigkeit von den Parametern \( A, B \in \mathbb{R} \) (Fallunterscheidungen):

a)\[\left(\begin{array}{llll|l}{0} & {1} & {4} & {0} & {14} \\{6} & {0} & {0} & {1} & {10} \\{2} & {5} & {0} & {0} & {12} \\{0} & {0} & {0} & {3} & {12}\end{array}\right)\]b)\[\begin{array}{c}{\left(\begin{array}{lll|l}{6} & {7} & {8} & {4} \\{3} & {4} & {5} & {4} \\{0} & {1} & {2} & {1}\end{array}\right)} \\c){\left(\begin{array}{cccc|c}{1} & {3} & {2} & {1} & {2} \\{0} & {6} & {3} & {2} & {2} \\{-2} & {0} & {-1} & {0} & {B} \\{-3} & {3} & {0} & {A} & {0}\end{array}\right)}\end{array}\]

Answer 1

a) stur nach Schema: eine Lösung: (1,2,3,4)

b) 2. Zeile verdoppeln minus 3. Zeile; steht im Widerspruch zur 1. Zeile: L={  }

c) stur nach Gauss:

\( \begin{pmatrix} 1& 3& 2& 1& 2 \\ 0& 6& 3& 2& 2\\ 0& 0& 3& A+1& 4\\ 0& 0& 0& 0& B+2 \end{pmatrix} \)

Rekursion:

Falls B+2≠0⇔B≠-2, Widerspruch, L={  }

Falls B=-2: x₄= t beliebig

3x₃ + (A+1) t = 4

x3 = (4-(A+1)t)/3

6x₂ +3x₃ + 2x₄ = 2

x₂ =(2 - 3x₃ + 2x₄)/6 = -1/3 +   (A-1) t /6

x₁ = 1/3 +   (A+1) t /6