LGS lösen Ax=b mit Gaußverfahren

Question

Aufgabe:

Gegeben Sei folgende Aufgabe:

$$ A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3\\ 4 & 5 & -11  \\ -2 & 2 & 8 \end{pmatrix} \ b=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 16  \end{pmatrix} $$

Verwenden Sie den Gauß-Algorithmus.

a) Bestimmen der Lösungsmenge des Linearen Gleichungssystems Ax=b

b) Bestimmen der Lösungsmenge des nur aus den beiden ersten Gleichungen bestehenden linearen Gleichungssystemen

Problem/Ansatz:

Ich soll bei a) nach x auflösen, aber wie mache ich das?

Und die b) verstehe ich gar nicht was mit den "ersten beiden Gleichungen" gemeint ist.

Answer 1

Aloha :)

$$\begin{array}{r}x & y & z & = & \text{Operation}\\\hline 1 & 2 & -3 & 2 & \\4 & 5 & -11 & 0 & -4\cdot\text{Zeile }1\\-2 & 2 & 8 & 16 &+2\cdot\text{Zeile }1\\\hline 1 & 2 & -3 & 2 & +\frac{2}{3}\cdot\text{Zeile 2}\\0 & -3 & 1 & -8 &\\0 & 6 & 2 & 20 & +2\cdot\text{Zeile }2\\\hline 1 & 0 & -\frac{7}{3} & -\frac{10}{3} & \\0 & -3 & 1 & -8 & :(-3)\\0 & 0 & 4 & 4 & :4\\\hline 1 & 0 & -\frac{7}{3} & -\frac{10}{3} &+\frac{7}{3}\cdot\text{Zeile }3 \\0 & 1 & -\frac{1}{3} & \frac{8}{3} &+\frac{1}{3}\cdot\text{Zeile }3\\0 & 0 & 1 & 1 & \\\hline 1 & 0 & 0 & -1 &\\0 & 1 & 0 & 3 &\\0 & 0 & 1 & 1 &\\\hline \end{array}$$Die Lösung ist also \(x=-1, y=3, z=1\) bzw. der Punkt \(P(-1|3|1)\).

Im zweiten Teil sollst du die letzte Gleichung weglassen und das Verfahren nur für die ersten beiden Gleichungen durchführen:$$\begin{array}{r}x & y & z & = & \text{Operation}\\\hline 1 & 2 & -3 & 2 & \\4 & 5 & -11 & 0 & -4\cdot\text{Zeile }1\\\hline 1 & 2 & -3 & 2 & +\frac{2}{3}\cdot\text{Zeile 2}\\0 & -3 & 1 & -8 &\\\hline 1 & 0 & -\frac{7}{3} & -\frac{10}{3} & \\0 & -3 & 1 & -8 &:(-3)\\\hline 1 & 0 & -\frac{7}{3} & -\frac{10}{3} & \\0 & 1 & -\frac{1}{3} & \frac{8}{3} &\\\hline\end{array}$$Wir lesen ab:$$x=-\frac{10}{3}+\frac{7}{3}z\quad;\quad y=\frac{8}{3}+\frac{1}{3}z$$Das ist offenbar eine Gerade mit den Punkten:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-10/3\\8/3\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}7/3\cdot z\\1/3\cdot z\\z\end{pmatrix}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}-10\\8\\0\end{pmatrix}+\frac{z}{3}\begin{pmatrix}7\\1\\3\end{pmatrix}$$

Comments

Komisch, genau so hatte ich es sogar versucht. Aber hatte nen Fehler beim ausrechnen.. Vielen Dank!

Answer 2

a) Bestimmen der Lösungsmenge des Linearen Gleichungssystems Ax=b

Einsetzen der Werte für \(A\) und \(b\) und Koordinaten von \(x\) ergibt

        \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3\\ 4 & 5 & -11  \\ -2 & 2 & 8 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 16  \end{pmatrix}\)

Ausführen der Matrix-Vektor-Multiplikation auf der linken Seite ergibt

        \(\begin{pmatrix} 1x_1 + 2x_2 - x_3\\ 4x_1 + 5x_2 - 11x_3  \\ -2x_1 + 2x_2 + 8x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 16  \end{pmatrix}\).

Nun kannst du für jede Komponente eine Gleichung aufstellen

        \(\begin{aligned}1x_1 + 2x_2 - x_3 & = 2\\4x_1 + 5x_2 - 11x_3 &= 0\\-2x_1 + 2x_2 + 8x_3&=16\end{aligned}\)

Dieses Gleichungssystem kannst du dann mit Gauß-Algorithmus lösen.

Answer 3

a) Bestimmen der Lösungsmenge des Linearen Gleichungssystems Ax=b

1·x + 2·y - 3·z = 2
4·x + 5·y - 11·z = 0
- 2·x + 2·y + 8·z = 16

II - 4*I ; III/2 + I

-3·y + z = -8
3·y + z = 10

II + I

2·z = 2 → z = 1

3·y + 1 = 10 --> y = 3

1·x + 2·3 - 3·1 = 2 --> x = -1

X = [-1, 3, 1]

b) Bestimmen der Lösungsmenge des nur aus den beiden ersten Gleichungen bestehenden linearen Gleichungssystemen

-3·y + z = -8 --> z = 3·y - 8

1·x + 2·y - 3·(3·y - 8) = 2 --> x = 7·y - 22

X = [7·y - 22, y, 3·y - 8]